Theorem iscringd 33797

Description: Conditions that determine a commutative ring. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscringd.1	|- ( ph -> G e. AbelOp )
iscringd.2	|- ( ph -> X = ran G )
iscringd.3	|- ( ph -> H : ( X X. X ) --> X )
iscringd.4	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) )
iscringd.5	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) )
iscringd.6	|- ( ph -> U e. X )
iscringd.7	|- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( y H U ) = y )
iscringd.8	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x H y ) = ( y H x ) )

Assertion

Ref	Expression
iscringd	|- ( ph -> <. G , H >. e. CRingOps )

Distinct variable groups:   ph, x, y, z   x, G, y, z   x, H, y, z   x, X, y, z   x, U, y

Allowed substitution hint:   U( z)

Proof of Theorem iscringd

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscringd.1	. . 3 |- ( ph -> G e. AbelOp )
2		iscringd.2	. . 3 |- ( ph -> X = ran G )
3		iscringd.3	. . 3 |- ( ph -> H : ( X X. X ) --> X )
4		iscringd.4	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) )
5		iscringd.5	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) )
6		id 22	. . . . 5 |- ( ( z e. X /\ y e. X /\ x e. X ) -> ( z e. X /\ y e. X /\ x e. X ) )
7	6	3com13 1270	. . . 4 |- ( ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( z e. X /\ y e. X /\ x e. X ) )
8		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( w = z -> ( w e. X <-> z e. X ) )
9	8	3anbi1d 1403	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( ( w e. X /\ y e. X /\ x e. X ) <-> ( z e. X /\ y e. X /\ x e. X ) ) )
10	9	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( ( ph /\ ( w e. X /\ y e. X /\ x e. X ) ) <-> ( ph /\ ( z e. X /\ y e. X /\ x e. X ) ) ) )
11		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( ( x G y ) H w ) = ( ( x G y ) H z ) )
12		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( w = z -> ( x H w ) = ( x H z ) )
13		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( w = z -> ( y H w ) = ( y H z ) )
14	12, 13	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( w = z -> ( ( x H w ) G ( y H w ) ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
15	11, 14	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( w = z -> ( ( ( x G y ) H w ) = ( ( x H w ) G ( y H w ) ) <-> ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
16	10, 15	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( w = z -> ( ( ( ph /\ ( w e. X /\ y e. X /\ x e. X ) ) -> ( ( x G y ) H w ) = ( ( x H w ) G ( y H w ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( z e. X /\ y e. X /\ x e. X ) ) -> ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
17		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( z e. X <-> x e. X ) )
18	17	3anbi3d 1405	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( ( w e. X /\ y e. X /\ z e. X ) <-> ( w e. X /\ y e. X /\ x e. X ) ) )
19	18	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( ( ph /\ ( w e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) <-> ( ph /\ ( w e. X /\ y e. X /\ x e. X ) ) ) )
20		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( z G y ) = ( x G y ) )
21	20	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( ( z G y ) H w ) = ( ( x G y ) H w ) )
22		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( z H w ) = ( x H w ) )
23	22	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( ( z H w ) G ( y H w ) ) = ( ( x H w ) G ( y H w ) ) )
24	21, 23	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( ( ( z G y ) H w ) = ( ( z H w ) G ( y H w ) ) <-> ( ( x G y ) H w ) = ( ( x H w ) G ( y H w ) ) ) )
25	19, 24	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( ( ( ph /\ ( w e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( z G y ) H w ) = ( ( z H w ) G ( y H w ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( w e. X /\ y e. X /\ x e. X ) ) -> ( ( x G y ) H w ) = ( ( x H w ) G ( y H w ) ) ) ) )
26		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( x e. X <-> w e. X ) )
27	26	3anbi1d 1403	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) <-> ( w e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) )
28	27	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) <-> ( ph /\ ( w e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) ) )
29		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( ( z G y ) H x ) = ( ( z G y ) H w ) )
30		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( z H x ) = ( z H w ) )
31		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( y H x ) = ( y H w ) )
32	30, 31	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( ( z H x ) G ( y H x ) ) = ( ( z H w ) G ( y H w ) ) )
33	29, 32	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( ( z G y ) H x ) = ( ( z H x ) G ( y H x ) ) <-> ( ( z G y ) H w ) = ( ( z H w ) G ( y H w ) ) ) )
34	28, 33	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( z G y ) H x ) = ( ( z H x ) G ( y H x ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( w e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( z G y ) H w ) = ( ( z H w ) G ( y H w ) ) ) ) )
35	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> G e. AbelOp )
36		simpr3 1069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> z e. X )
37	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> X = ran G )
38	36, 37	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> z e. ran G )
39		simpr2 1068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> y e. X )
40	39, 37	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> y e. ran G )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ran G = ran G
42	41	ablocom 27402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. AbelOp /\ z e. ran G /\ y e. ran G ) -> ( z G y ) = ( y G z ) )
43	35, 38, 40, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z G y ) = ( y G z ) )
44	43	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( z G y ) H x ) = ( ( y G z ) H x ) )
45		simpr1 1067	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> x e. X )
46		ablogrpo 27401	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. AbelOp -> G e. GrpOp )
47	35, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> G e. GrpOp )
48	41	grpocl 27354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. GrpOp /\ y e. ran G /\ z e. ran G ) -> ( y G z ) e. ran G )
49	47, 40, 38, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y G z ) e. ran G )
50	49, 37	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y G z ) e. X )
51	45, 50	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x e. X /\ ( y G z ) e. X ) )
52		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( y G z ) e. _V
53		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( y G z ) -> ( w e. X <-> ( y G z ) e. X ) )
54	53	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( y G z ) -> ( ( x e. X /\ w e. X ) <-> ( x e. X /\ ( y G z ) e. X ) ) )
55	54	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( y G z ) -> ( ( ph /\ ( x e. X /\ w e. X ) ) <-> ( ph /\ ( x e. X /\ ( y G z ) e. X ) ) ) )
56		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( y G z ) -> ( x H w ) = ( x H ( y G z ) ) )
57		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( y G z ) -> ( w H x ) = ( ( y G z ) H x ) )
58	56, 57	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( y G z ) -> ( ( x H w ) = ( w H x ) <-> ( x H ( y G z ) ) = ( ( y G z ) H x ) ) )
59	55, 58	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( y G z ) -> ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ w e. X ) ) -> ( x H w ) = ( w H x ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( y G z ) e. X ) ) -> ( x H ( y G z ) ) = ( ( y G z ) H x ) ) ) )
60		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = w -> ( y e. X <-> w e. X ) )
61	60	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( ( x e. X /\ y e. X ) <-> ( x e. X /\ w e. X ) ) )
62	61	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) <-> ( ph /\ ( x e. X /\ w e. X ) ) ) )
63		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( x H y ) = ( x H w ) )
64		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( y H x ) = ( w H x ) )
65	63, 64	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( ( x H y ) = ( y H x ) <-> ( x H w ) = ( w H x ) ) )
66	62, 65	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x H y ) = ( y H x ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. X /\ w e. X ) ) -> ( x H w ) = ( w H x ) ) ) )
67		iscringd.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x H y ) = ( y H x ) )
68	66, 67	chvarv 2263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ w e. X ) ) -> ( x H w ) = ( w H x ) )
69	52, 59, 68	vtocl 3259	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( y G z ) e. X ) ) -> ( x H ( y G z ) ) = ( ( y G z ) H x ) )
70	51, 69	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x H ( y G z ) ) = ( ( y G z ) H x ) )
71	67	3adantr3 1222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x H y ) = ( y H x ) )
72		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = z -> ( y e. X <-> z e. X ) )
73	72	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( ( x e. X /\ y e. X ) <-> ( x e. X /\ z e. X ) ) )
74	73	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) <-> ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) ) )
75		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( x H y ) = ( x H z ) )
76		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( y H x ) = ( z H x ) )
77	75, 76	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( ( x H y ) = ( y H x ) <-> ( x H z ) = ( z H x ) ) )
78	74, 77	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( x H y ) = ( y H x ) ) <-> ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x H z ) = ( z H x ) ) ) )
79	78, 67	chvarv 2263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X ) ) -> ( x H z ) = ( z H x ) )
80	79	3adantr2 1221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x H z ) = ( z H x ) )
81	71, 80	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x H y ) G ( x H z ) ) = ( ( y H x ) G ( z H x ) ) )
82	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> H : ( X X. X ) --> X )
83	82, 39, 45	fovrnd 6806	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y H x ) e. X )
84	83, 37	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( y H x ) e. ran G )
85	82, 36, 45	fovrnd 6806	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z H x ) e. X )
86	85, 37	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( z H x ) e. ran G )
87	41	ablocom 27402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( y H x ) e. ran G /\ ( z H x ) e. ran G ) -> ( ( y H x ) G ( z H x ) ) = ( ( z H x ) G ( y H x ) ) )
88	35, 84, 86, 87	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( y H x ) G ( z H x ) ) = ( ( z H x ) G ( y H x ) ) )
89	5, 81, 88	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x H ( y G z ) ) = ( ( z H x ) G ( y H x ) ) )
90	44, 70, 89	3eqtr2d 2662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( z G y ) H x ) = ( ( z H x ) G ( y H x ) ) )
91	34, 90	chvarv 2263	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( w e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( z G y ) H w ) = ( ( z H w ) G ( y H w ) ) )
92	25, 91	chvarv 2263	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( w e. X /\ y e. X /\ x e. X ) ) -> ( ( x G y ) H w ) = ( ( x H w ) G ( y H w ) ) )
93	16, 92	chvarv 2263	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( z e. X /\ y e. X /\ x e. X ) ) -> ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
94	7, 93	sylan2 491	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
95		iscringd.6	. . 3 |- ( ph -> U e. X )
96	95	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> U e. X )
97		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( x = U -> ( x H y ) = ( U H y ) )
98		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = U -> ( y H x ) = ( y H U ) )
99	97, 98	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( x = U -> ( ( x H y ) = ( y H x ) <-> ( U H y ) = ( y H U ) ) )
100	99	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( x = U -> ( ( ( ph /\ y e. X ) -> ( x H y ) = ( y H x ) ) <-> ( ( ph /\ y e. X ) -> ( U H y ) = ( y H U ) ) ) )
101	67	an12s 843	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X /\ ( ph /\ y e. X ) ) -> ( x H y ) = ( y H x ) )
102	101	ex 450	. . . . . 6 |- ( x e. X -> ( ( ph /\ y e. X ) -> ( x H y ) = ( y H x ) ) )
103	100, 102	vtoclga 3272	. . . . 5 |- ( U e. X -> ( ( ph /\ y e. X ) -> ( U H y ) = ( y H U ) ) )
104	96, 103	mpcom 38	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( U H y ) = ( y H U ) )
105		iscringd.7	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( y H U ) = y )
106	104, 105	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( U H y ) = y )
107	1, 2, 3, 4, 5, 94, 95, 106, 105	isrngod 33697	. 2 |- ( ph -> <. G , H >. e. RingOps )
108	2	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X <-> x e. ran G ) )
109	2	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. X <-> y e. ran G ) )
110	108, 109	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. X /\ y e. X ) <-> ( x e. ran G /\ y e. ran G ) ) )
111	110	biimpar 502	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ran G /\ y e. ran G ) ) -> ( x e. X /\ y e. X ) )
112	111, 67	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ran G /\ y e. ran G ) ) -> ( x H y ) = ( y H x ) )
113	112	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ran G A. y e. ran G ( x H y ) = ( y H x ) )
114		rnexg 7098	. . . . . . . 8 |- ( G e. AbelOp -> ran G e. _V )
115	1, 114	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran G e. _V )
116	2, 115	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. _V )
117		xpexg 6960	. . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ X e. _V ) -> ( X X. X ) e. _V )
118	116, 116, 117	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( X X. X ) e. _V )
119		fex 6490	. . . . 5 |- ( ( H : ( X X. X ) --> X /\ ( X X. X ) e. _V ) -> H e. _V )
120	3, 118, 119	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> H e. _V )
121		iscom2 33794	. . . 4 |- ( ( G e. AbelOp /\ H e. _V ) -> ( <. G , H >. e. Com2 <-> A. x e. ran G A. y e. ran G ( x H y ) = ( y H x ) ) )
122	1, 120, 121	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( <. G , H >. e. Com2 <-> A. x e. ran G A. y e. ran G ( x H y ) = ( y H x ) ) )
123	113, 122	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> <. G , H >. e. Com2 )
124		iscrngo 33795	. 2 |- ( <. G , H >. e. CRingOps <-> ( <. G , H >. e. RingOps /\ <. G , H >. e. Com2 ) )
125	107, 123, 124	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> <. G , H >. e. CRingOps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   <.cop 4183   X. cxp 5112   ran crn 5115   -->wf 5884  (class class class)co 6650   GrpOpcgr 27343   AbelOpcablo 27398   RingOpscrngo 33693   Com2ccm2 33788  CRingOpsccring 33792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-rngo 33694  df-com2 33789  df-crngo 33793

This theorem is referenced by: (None)