Theorem rnexg 7098

Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rnexg	|- ( A e. V -> ran A e. _V )

Proof of Theorem rnexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 6955	. 2 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
2		uniexg 6955	. 2 |- ( U. A e. _V -> U. U. A e. _V )
3		ssun2 3777	. . . 4 |- ran A C_ ( dom A u. ran A )
4		dmrnssfld 5384	. . . 4 |- ( dom A u. ran A ) C_ U. U. A
5	3, 4	sstri 3612	. . 3 |- ran A C_ U. U. A
6		ssexg 4804	. . 3 |- ( ( ran A C_ U. U. A /\ U. U. A e. _V ) -> ran A e. _V )
7	5, 6	mpan 706	. 2 |- ( U. U. A e. _V -> ran A e. _V )
8	1, 2, 7	3syl 18	1 |- ( A e. V -> ran A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   U.cuni 4436   dom cdm 5114   ran crn 5115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by:  rnex  7100  imaexg  7103  xpexr  7106  xpexr2  7107  soex  7109  cnvexg  7112  coexg  7117  cofunexg  7130  funrnex  7133  abrexexg  7140  tposexg  7366  iunon  7436  onoviun  7440  tz7.44lem1  7501  tz7.44-3  7504  fopwdom  8068  disjen  8117  domss2  8119  domssex  8121  hartogslem2  8448  dfac12lem2  8966  unirnfdomd  9389  focdmex  13139  hashf1rnOLD  13143  hashimarn  13227  trclexlem  13733  relexp0g  13762  relexpsucnnr  13765  restval  16087  prdsbas  16117  prdsplusg  16118  prdsmulr  16119  prdsvsca  16120  prdshom  16127  sscpwex  16475  sylow1lem4  18016  sylow3lem2  18043  sylow3lem3  18044  lsmvalx  18054  txindislem  21436  xkoptsub  21457  fmfnfmlem3  21760  fmfnfmlem4  21761  ustuqtoplem  22043  ustuqtop0  22044  utopsnneiplem  22051  efabl  24296  efsubm  24297  perpln1  25605  perpln2  25606  isperp  25607  lmif  25677  islmib  25679  isgrpo  27351  grpoinvfval  27376  grpodivfval  27388  isvcOLD  27434  isnv  27467  abrexexd  29347  acunirnmpt  29459  acunirnmpt2  29460  acunirnmpt2f  29461  locfinreflem  29907  esumrnmpt2  30130  sxsigon  30255  omssubadd  30362  carsgclctunlem2  30381  pmeasadd  30387  sitgclg  30404  bnj1366  30900  ptrest  33408  elghomlem1OLD  33684  elghomlem2OLD  33685  isrngod  33697  iscringd  33797  lmhmlnmsplit  37657  rclexi  37922  rtrclexlem  37923  trclubgNEW  37925  cnvrcl0  37932  dfrtrcl5  37936  relexpmulg  38002  relexp01min  38005  relexpxpmin  38009  unirnmap  39400  unirnmapsn  39406  ssmapsn  39408  fourierdlem70  40393  fourierdlem71  40394  fourierdlem80  40403  meadjiunlem  40682  omeiunle  40731