Theorem isfcls2 21817

Description: A cluster point of a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfcls2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )

Distinct variable groups:   A, s   F, s   J, s   X, s

Proof of Theorem isfcls2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 20718	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2	1	adantr 481	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> J e. Top )
3		toponuni 20719	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
4	3	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( Fil ` X ) = ( Fil ` U. J ) )
5	4	eleq2d 2687	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( F e. ( Fil ` X ) <-> F e. ( Fil ` U. J ) ) )
6	5	biimpa 501	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> F e. ( Fil ` U. J ) )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- U. J = U. J
8	7	isfcls 21813	. . . 4 |- ( A e. ( J fClus F ) <-> ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` U. J ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
9		df-3an 1039	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` U. J ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) <-> ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` U. J ) ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
10	8, 9	bitri 264	. . 3 |- ( A e. ( J fClus F ) <-> ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` U. J ) ) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
11	10	baib 944	. 2 |- ( ( J e. Top /\ F e. ( Fil ` U. J ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
12	2, 6, 11	syl2anc 693	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   A.wral 2912   U.cuni 4436   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   clsccl 20822   Filcfil 21649   fClus cfcls 21740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fbas 19743  df-topon 20716  df-fil 21650  df-fcls 21745

This theorem is referenced by:  fclsopn  21818  fclsss2  21827