Theorem isgrpda 33754

Description: Properties that determine a group operation. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isgrpda.1	|- ( ph -> X e. _V )
isgrpda.2	|- ( ph -> G : ( X X. X ) --> X )
isgrpda.3	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
isgrpda.4	|- ( ph -> U e. X )
isgrpda.5	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( U G x ) = x )
isgrpda.6	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. n e. X ( n G x ) = U )

Assertion

Ref	Expression
isgrpda	|- ( ph -> G e. GrpOp )

Distinct variable groups:   ph, x, y, z   n, G, x, y, z   n, X, x, y, z   U, n, x, y, z

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem isgrpda

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgrpda.2	. . 3 |- ( ph -> G : ( X X. X ) --> X )
2		isgrpda.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
3	2	ralrimivvva 2972	. . 3 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) )
4		isgrpda.4	. . . 4 |- ( ph -> U e. X )
5		isgrpda.5	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( U G x ) = x )
6		isgrpda.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. n e. X ( n G x ) = U )
7		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( y = n -> ( y G x ) = ( n G x ) )
8	7	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( y = n -> ( ( y G x ) = U <-> ( n G x ) = U ) )
9	8	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. y e. X ( y G x ) = U <-> E. n e. X ( n G x ) = U )
10	6, 9	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. y e. X ( y G x ) = U )
11	5, 10	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( U G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = U ) )
12	11	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. X ( ( U G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = U ) )
13		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( u = U -> ( u G x ) = ( U G x ) )
14	13	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( ( u G x ) = x <-> ( U G x ) = x ) )
15		eqeq2 2633	. . . . . . . 8 |- ( u = U -> ( ( y G x ) = u <-> ( y G x ) = U ) )
16	15	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( E. y e. X ( y G x ) = u <-> E. y e. X ( y G x ) = U ) )
17	14, 16	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) <-> ( ( U G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = U ) ) )
18	17	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( u = U -> ( A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) <-> A. x e. X ( ( U G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = U ) ) )
19	18	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( U e. X /\ A. x e. X ( ( U G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = U ) ) -> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) )
20	4, 12, 19	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) )
21	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> U e. X )
22		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
23	5	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x = ( U G x ) )
24		rspceov 6692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. X /\ x e. X /\ x = ( U G x ) ) -> E. y e. X E. z e. X x = ( y G z ) )
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. y e. X E. z e. X x = ( y G z ) )
26	25	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. X E. y e. X E. z e. X x = ( y G z ) )
27		foov 6808	. . . . . . . 8 |- ( G : ( X X. X ) -onto-> X <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X E. y e. X E. z e. X x = ( y G z ) ) )
28	1, 26, 27	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ph -> G : ( X X. X ) -onto-> X )
29		forn 6118	. . . . . . 7 |- ( G : ( X X. X ) -onto-> X -> ran G = X )
30	28, 29	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ran G = X )
31	30	sqxpeqd 5141	. . . . 5 |- ( ph -> ( ran G X. ran G ) = ( X X. X ) )
32	31, 30	feq23d 6040	. . . 4 |- ( ph -> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G <-> G : ( X X. X ) --> X ) )
33	30	raleqdv 3144	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
34	30, 33	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
35	30, 34	raleqbidv 3152	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
36	30	rexeqdv 3145	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. y e. ran G ( y G x ) = u <-> E. y e. X ( y G x ) = u ) )
37	36	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) <-> ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
38	30, 37	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) <-> A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
39	30, 38	rexeqbidv 3153	. . . 4 |- ( ph -> ( E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) <-> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
40	32, 35, 39	3anbi123d 1399	. . 3 |- ( ph -> ( ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) ) <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) ) )
41	1, 3, 20, 40	mpbir3and 1245	. 2 |- ( ph -> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) ) )
42		isgrpda.1	. . . . 5 |- ( ph -> X e. _V )
43		xpexg 6960	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ X e. _V ) -> ( X X. X ) e. _V )
44	42, 42, 43	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( X X. X ) e. _V )
45		fex 6490	. . . 4 |- ( ( G : ( X X. X ) --> X /\ ( X X. X ) e. _V ) -> G e. _V )
46	1, 44, 45	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> G e. _V )
47		eqid 2622	. . . 4 |- ran G = ran G
48	47	isgrpo 27351	. . 3 |- ( G e. _V -> ( G e. GrpOp <-> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) ) ) )
49	46, 48	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( G e. GrpOp <-> ( G : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. ran G A. x e. ran G ( ( u G x ) = x /\ E. y e. ran G ( y G x ) = u ) ) ) )
50	41, 49	mpbird 247	1 |- ( ph -> G e. GrpOp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   X. cxp 5112   ran crn 5115   -->wf 5884   -onto->wfo 5886  (class class class)co 6650   GrpOpcgr 27343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-grpo 27347

This theorem is referenced by:  isdrngo2  33757