Theorem hausdiag 21448

Description: A topology is Hausdorff iff the diagonal set is closed in the topology's product with itself. EDITORIAL: very clumsy proof, can probably be shortened substantially. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hausdiag.x	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
hausdiag	|- ( J e. Haus <-> ( J e. Top /\ ( _I |` X ) e. ( Clsd ` ( J tX J ) ) ) )

Proof of Theorem hausdiag

Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hausdiag.x	. . 3 |- X = U. J
2	1	ishaus 21126	. 2 |- ( J e. Haus <-> ( J e. Top /\ A. a e. X A. b e. X ( a =/= b -> E. c e. J E. d e. J ( a e. c /\ b e. d /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) ) )
3		txtop 21372	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ J e. Top ) -> ( J tX J ) e. Top )
4	3	anidms 677	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( J tX J ) e. Top )
5		f1oi 6174	. . . . . . 7 |- ( _I |` X ) : X -1-1-onto-> X
6		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( ( _I |` X ) : X -1-1-onto-> X -> ( _I |` X ) : X --> X )
7		fssxp 6060	. . . . . . 7 |- ( ( _I |` X ) : X --> X -> ( _I |` X ) C_ ( X X. X ) )
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( _I |` X ) C_ ( X X. X )
9	1, 1	txuni 21395	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ J e. Top ) -> ( X X. X ) = U. ( J tX J ) )
10	9	anidms 677	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( X X. X ) = U. ( J tX J ) )
11	8, 10	syl5sseq 3653	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( _I |` X ) C_ U. ( J tX J ) )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. ( J tX J ) = U. ( J tX J )
13	12	iscld2 20832	. . . . 5 |- ( ( ( J tX J ) e. Top /\ ( _I |` X ) C_ U. ( J tX J ) ) -> ( ( _I |` X ) e. ( Clsd ` ( J tX J ) ) <-> ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) e. ( J tX J ) ) )
14	4, 11, 13	syl2anc 693	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( ( _I |` X ) e. ( Clsd ` ( J tX J ) ) <-> ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) e. ( J tX J ) ) )
15		eltx 21371	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ J e. Top ) -> ( ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) e. ( J tX J ) <-> A. e e. ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) )
16	15	anidms 677	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) e. ( J tX J ) <-> A. e e. ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) )
17		eldif 3584	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) <-> ( e e. U. ( J tX J ) /\ -. e e. ( _I |` X ) ) )
18	10	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. Top -> U. ( J tX J ) = ( X X. X ) )
19	18	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Top -> ( e e. U. ( J tX J ) <-> e e. ( X X. X ) ) )
20	19	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. Top -> ( ( e e. U. ( J tX J ) /\ -. e e. ( _I |` X ) ) <-> ( e e. ( X X. X ) /\ -. e e. ( _I |` X ) ) ) )
21	17, 20	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> ( e e. ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) <-> ( e e. ( X X. X ) /\ -. e e. ( _I |` X ) ) ) )
22	21	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> ( ( e e. ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) -> E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) <-> ( ( e e. ( X X. X ) /\ -. e e. ( _I |` X ) ) -> E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) ) )
23		impexp 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( e e. ( X X. X ) /\ -. e e. ( _I |` X ) ) -> E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) <-> ( e e. ( X X. X ) -> ( -. e e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) ) )
24	22, 23	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> ( ( e e. ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) -> E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) <-> ( e e. ( X X. X ) -> ( -. e e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) ) ) )
25	24	ralbidv2 2984	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( A. e e. ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) <-> A. e e. ( X X. X ) ( -. e e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) ) )
26		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( e = <. a , b >. -> ( e e. ( _I |` X ) <-> <. a , b >. e. ( _I |` X ) ) )
27	26	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( e = <. a , b >. -> ( -. e e. ( _I |` X ) <-> -. <. a , b >. e. ( _I |` X ) ) )
28		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( e = <. a , b >. -> ( e e. ( c X. d ) <-> <. a , b >. e. ( c X. d ) ) )
29	28	anbi1d 741	. . . . . . . . 9 |- ( e = <. a , b >. -> ( ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) <-> ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) )
30	29	2rexbidv 3057	. . . . . . . 8 |- ( e = <. a , b >. -> ( E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) <-> E. c e. J E. d e. J ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) )
31	27, 30	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( e = <. a , b >. -> ( ( -. e e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) <-> ( -. <. a , b >. e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) ) )
32	31	ralxp 5263	. . . . . 6 |- ( A. e e. ( X X. X ) ( -. e e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) <-> A. a e. X A. b e. X ( -. <. a , b >. e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) )
33	25, 32	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( A. e e. ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) <-> A. a e. X A. b e. X ( -. <. a , b >. e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) ) )
34		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- b e. _V
35	34	opelres 5401	. . . . . . . . . 10 |- ( <. a , b >. e. ( _I |` X ) <-> ( <. a , b >. e. _I /\ a e. X ) )
36		df-br 4654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a _I b <-> <. a , b >. e. _I )
37	34	ideq 5274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a _I b <-> a = b )
38	36, 37	bitr3i 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. a , b >. e. _I <-> a = b )
39		iba 524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. X -> ( <. a , b >. e. _I <-> ( <. a , b >. e. _I /\ a e. X ) ) )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( <. a , b >. e. _I <-> ( <. a , b >. e. _I /\ a e. X ) ) )
41	38, 40	syl5rbbr 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( ( <. a , b >. e. _I /\ a e. X ) <-> a = b ) )
42	35, 41	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. X /\ b e. X ) -> ( <. a , b >. e. ( _I |` X ) <-> a = b ) )
43	42	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( <. a , b >. e. ( _I |` X ) <-> a = b ) )
44	43	necon3bbid 2831	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( -. <. a , b >. e. ( _I |` X ) <-> a =/= b ) )
45		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c e. J -> c C_ U. J )
46		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d e. J -> d C_ U. J )
47		xpss12 5225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c C_ U. J /\ d C_ U. J ) -> ( c X. d ) C_ ( U. J X. U. J ) )
48	45, 46, 47	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c e. J /\ d e. J ) -> ( c X. d ) C_ ( U. J X. U. J ) )
49	1, 1	xpeq12i 5137	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X X. X ) = ( U. J X. U. J )
50	48, 49	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. J /\ d e. J ) -> ( c X. d ) C_ ( X X. X ) )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( c X. d ) C_ ( X X. X ) )
52	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( X X. X ) = U. ( J tX J ) )
53	51, 52	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( c X. d ) C_ U. ( J tX J ) )
54		reldisj 4020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c X. d ) C_ U. ( J tX J ) -> ( ( ( c X. d ) i^i ( _I |` X ) ) = (/) <-> ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( ( c X. d ) i^i ( _I |` X ) ) = (/) <-> ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) )
56		df-res 5126	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( _I |` X ) = ( _I i^i ( X X. _V ) )
57	56	ineq2i 3811	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c X. d ) i^i ( _I |` X ) ) = ( ( c X. d ) i^i ( _I i^i ( X X. _V ) ) )
58		inass 3823	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( c X. d ) i^i _I ) i^i ( X X. _V ) ) = ( ( c X. d ) i^i ( _I i^i ( X X. _V ) ) )
59		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( c X. d ) i^i _I ) C_ ( c X. d )
60	59, 51	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( c X. d ) i^i _I ) C_ ( X X. X ) )
61		ssv 3625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- X C_ _V
62		xpss2 5229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( X C_ _V -> ( X X. X ) C_ ( X X. _V ) )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X X. X ) C_ ( X X. _V )
64	60, 63	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( c X. d ) i^i _I ) C_ ( X X. _V ) )
65		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( c X. d ) i^i _I ) C_ ( X X. _V ) <-> ( ( ( c X. d ) i^i _I ) i^i ( X X. _V ) ) = ( ( c X. d ) i^i _I ) )
66	64, 65	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( ( c X. d ) i^i _I ) i^i ( X X. _V ) ) = ( ( c X. d ) i^i _I ) )
67	58, 66	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( c X. d ) i^i ( _I i^i ( X X. _V ) ) ) = ( ( c X. d ) i^i _I ) )
68	57, 67	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( c X. d ) i^i ( _I |` X ) ) = ( ( c X. d ) i^i _I ) )
69	68	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( ( c X. d ) i^i ( _I |` X ) ) = (/) <-> ( ( c X. d ) i^i _I ) = (/) ) )
70		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. a , a >. e. ( c X. d ) <-> ( a e. c /\ a e. d ) )
71		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a ( c X. d ) a <-> <. a , a >. e. ( c X. d ) )
72		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. ( c i^i d ) <-> ( a e. c /\ a e. d ) )
73	70, 71, 72	3bitr4i 292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a ( c X. d ) a <-> a e. ( c i^i d ) )
74	73	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. a ( c X. d ) a <-> -. a e. ( c i^i d ) )
75	74	albii 1747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. a -. a ( c X. d ) a <-> A. a -. a e. ( c i^i d ) )
76		intirr 5514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( c X. d ) i^i _I ) = (/) <-> A. a -. a ( c X. d ) a )
77		eq0 3929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c i^i d ) = (/) <-> A. a -. a e. ( c i^i d ) )
78	75, 76, 77	3bitr4i 292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( c X. d ) i^i _I ) = (/) <-> ( c i^i d ) = (/) )
79	69, 78	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( ( c X. d ) i^i ( _I |` X ) ) = (/) <-> ( c i^i d ) = (/) ) )
80	55, 79	bitr3d 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) <-> ( c i^i d ) = (/) ) )
81	80	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) <-> ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) )
82		opelxp 5146	. . . . . . . . . 10 |- ( <. a , b >. e. ( c X. d ) <-> ( a e. c /\ b e. d ) )
83	82	anbi1i 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) <-> ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) )
84		df-3an 1039	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. c /\ b e. d /\ ( c i^i d ) = (/) ) <-> ( ( a e. c /\ b e. d ) /\ ( c i^i d ) = (/) ) )
85	81, 83, 84	3bitr4g 303	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( c e. J /\ d e. J ) ) -> ( ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) <-> ( a e. c /\ b e. d /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) )
86	85	2rexbidva 3056	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( E. c e. J E. d e. J ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) <-> E. c e. J E. d e. J ( a e. c /\ b e. d /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) )
87	44, 86	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( -. <. a , b >. e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) <-> ( a =/= b -> E. c e. J E. d e. J ( a e. c /\ b e. d /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) ) )
88	87	2ralbidva 2988	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( A. a e. X A. b e. X ( -. <. a , b >. e. ( _I |` X ) -> E. c e. J E. d e. J ( <. a , b >. e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) ) <-> A. a e. X A. b e. X ( a =/= b -> E. c e. J E. d e. J ( a e. c /\ b e. d /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) ) )
89	33, 88	bitrd 268	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A. e e. ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) E. c e. J E. d e. J ( e e. ( c X. d ) /\ ( c X. d ) C_ ( U. ( J tX J ) \ ( _I |` X ) ) ) <-> A. a e. X A. b e. X ( a =/= b -> E. c e. J E. d e. J ( a e. c /\ b e. d /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) ) )
90	14, 16, 89	3bitrrd 295	. . 3 |- ( J e. Top -> ( A. a e. X A. b e. X ( a =/= b -> E. c e. J E. d e. J ( a e. c /\ b e. d /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) <-> ( _I |` X ) e. ( Clsd ` ( J tX J ) ) ) )
91	90	pm5.32i 669	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A. a e. X A. b e. X ( a =/= b -> E. c e. J E. d e. J ( a e. c /\ b e. d /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) ) <-> ( J e. Top /\ ( _I |` X ) e. ( Clsd ` ( J tX J ) ) ) )
92	2, 91	bitri 264	1 |- ( J e. Haus <-> ( J e. Top /\ ( _I |` X ) e. ( Clsd ` ( J tX J ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   _I cid 5023   X. cxp 5112   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698   Clsdccld 20820   Hauscha 21112   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-haus 21119  df-tx 21365

This theorem is referenced by:  hauseqlcld  21449  tgphaus  21920  qtophaus  29903