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Theorem islmod 18867
Description: The predicate "is a left module". (Contributed by NM, 4-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islmod.v |- V = ( Base ` W )
islmod.a |- .+ = ( +g ` W )
islmod.s |- .x. = ( .s ` W )
islmod.f |- F = (Scalar ` W )
islmod.k |- K = ( Base ` F )
islmod.p |- .+^ = ( +g ` F )
islmod.t |- .X. = ( .r ` F )
islmod.u |- .1. = ( 1r ` F )
Assertion
Ref Expression
islmod |- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
Distinct variable groups:   r, q, w, x, F   K, q, r, w, x   .+^ , q, r, w, x   V, q, r, w, x   .+ , q, r, w, x   .1. , q, r, w, x   .X. , q, r, w, x   .x. , q, r, w, x
Allowed substitution hints:   W( x, w, r, q)
Proof of Theorem islmod
Dummy variables f a g k p s v t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( g = W -> ( Base ` g ) = ( Base ` W ) )
2 islmod.v . . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
31, 2syl6eqr 2674 . . . . 5 |- ( g = W -> ( Base ` g ) = V )
4 fveq2 6191 . . . . . . 7 |- ( g = W -> ( +g ` g ) = ( +g ` W ) )
5 islmod.a . . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` W )
64, 5syl6eqr 2674 . . . . . 6 |- ( g = W -> ( +g ` g ) = .+ )
7 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( g = W -> (Scalar ` g ) = (Scalar ` W ) )
8 islmod.f . . . . . . . 8 |- F = (Scalar ` W )
97, 8syl6eqr 2674 . . . . . . 7 |- ( g = W -> (Scalar ` g ) = F )
10 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( g = W -> ( .s ` g ) = ( .s ` W ) )
11 islmod.s . . . . . . . . 9 |- .x. = ( .s ` W )
1210, 11syl6eqr 2674 . . . . . . . 8 |- ( g = W -> ( .s ` g ) = .x. )
1312sbceq1d 3440 . . . . . . 7 |- ( g = W -> ( [. ( .s ` g ) / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
149, 13sbceqbid 3442 . . . . . 6 |- ( g = W -> ( [. (Scalar ` g ) / f ]. [. ( .s ` g ) / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
156, 14sbceqbid 3442 . . . . 5 |- ( g = W -> ( [. ( +g ` g ) / a ]. [. (Scalar ` g ) / f ]. [. ( .s ` g ) / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .+ / a ]. [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
163, 15sbceqbid 3442 . . . 4 |- ( g = W -> ( [. ( Base ` g ) / v ]. [. ( +g ` g ) / a ]. [. (Scalar ` g ) / f ]. [. ( .s ` g ) / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. V / v ]. [. .+ / a ]. [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
17 fvex 6201 . . . . . . 7 |- ( Base ` W ) e. _V
182, 17eqeltri 2697 . . . . . 6 |- V e. _V
19 fvex 6201 . . . . . . 7 |- ( +g ` W ) e. _V
205, 19eqeltri 2697 . . . . . 6 |- .+ e. _V
21 fvex 6201 . . . . . . 7 |- (Scalar ` W ) e. _V
228, 21eqeltri 2697 . . . . . 6 |- F e. _V
23 simp3 1063 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> f = F )
2423fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( Base ` f ) = ( Base ` F ) )
25 islmod.k . . . . . . . . 9 |- K = ( Base ` F )
2624, 25syl6eqr 2674 . . . . . . . 8 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( Base ` f ) = K )
2723fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( +g ` f ) = ( +g ` F ) )
28 islmod.p . . . . . . . . . 10 |- .+^ = ( +g ` F )
2927, 28syl6eqr 2674 . . . . . . . . 9 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( +g ` f ) = .+^ )
3023fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( .r ` f ) = ( .r ` F ) )
31 islmod.t . . . . . . . . . . . 12 |- .X. = ( .r ` F )
3230, 31syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( .r ` f ) = .X. )
3332sbceq1d 3440 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .X. / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
34 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( .r ` F ) e. _V
3531, 34eqeltri 2697 . . . . . . . . . . . 12 |- .X. e. _V
36 oveq 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = .X. -> ( q t r ) = ( q .X. r ) )
3736oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t = .X. -> ( ( q t r ) s w ) = ( ( q .X. r ) s w ) )
3837eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = .X. -> ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) <-> ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) ) )
3938anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = .X. -> ( ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) <-> ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) )
4039anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = .X. -> ( ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) )
41402ralbidv 2989 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = .X. -> ( A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) )
42412ralbidv 2989 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = .X. -> ( A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) )
4342anbi2d 740 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = .X. -> ( ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) ) )
4435, 43sbcie 3470 . . . . . . . . . . 11 |- ( [. .X. / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) )
4523eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( f e. Ring <-> F e. Ring ) )
46 simp1 1061 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> v = V )
4746eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( r s w ) e. v <-> ( r s w ) e. V ) )
48 simp2 1062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> a = .+ )
4948oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( w a x ) = ( w .+ x ) )
5049oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( r s ( w a x ) ) = ( r s ( w .+ x ) ) )
5148oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( r s w ) a ( r s x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) )
5250, 51eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) <-> ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) ) )
5348oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( q s w ) a ( r s w ) ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) )
5453eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) <-> ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) )
5547, 52, 543anbi123d 1399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) <-> ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) ) )
5623fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( 1r ` f ) = ( 1r ` F ) )
57 islmod.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- .1. = ( 1r ` F )
5856, 57syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( 1r ` f ) = .1. )
5958oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( 1r ` f ) s w ) = ( .1. s w ) )
6059eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( ( 1r ` f ) s w ) = w <-> ( .1. s w ) = w ) )
6160anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) <-> ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) )
6255, 61anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) )
6346, 62raleqbidv 3152 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) )
6446, 63raleqbidv 3152 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) )
65642ralbidv 2989 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) <-> A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) )
6645, 65anbi12d 747 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
6744, 66syl5bb 272 . . . . . . . . . 10 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( [. .X. / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
6833, 67bitrd 268 . . . . . . . . 9 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
6929, 68sbceqbid 3442 . . . . . . . 8 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
7026, 69sbceqbid 3442 . . . . . . 7 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. K / k ]. [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
7170sbcbidv 3490 . . . . . 6 |- ( ( v = V /\ a = .+ /\ f = F ) -> ( [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .x. / s ]. [. K / k ]. [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) ) )
7218, 20, 22, 71sbc3ie 3507 . . . . 5 |- ( [. V / v ]. [. .+ / a ]. [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> [. .x. / s ]. [. K / k ]. [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) )
73 fvex 6201 . . . . . . 7 |- ( .s ` W ) e. _V
7411, 73eqeltri 2697 . . . . . 6 |- .x. e. _V
75 fvex 6201 . . . . . . 7 |- ( Base ` F ) e. _V
7625, 75eqeltri 2697 . . . . . 6 |- K e. _V
77 fvex 6201 . . . . . . 7 |- ( +g ` F ) e. _V
7828, 77eqeltri 2697 . . . . . 6 |- .+^ e. _V
79 simp2 1062 . . . . . . . 8 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> k = K )
80 simp1 1061 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> s = .x. )
8180oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( r s w ) = ( r .x. w ) )
8281eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( r s w ) e. V <-> ( r .x. w ) e. V ) )
8380oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( r s ( w .+ x ) ) = ( r .x. ( w .+ x ) ) )
8480oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( r s x ) = ( r .x. x ) )
8581, 84oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) )
8683, 85eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) <-> ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) ) )
87 simp3 1063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> p = .+^ )
8887oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( q p r ) = ( q .+^ r ) )
8988oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( q p r ) s w ) = ( ( q .+^ r ) s w ) )
9080oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( q .+^ r ) s w ) = ( ( q .+^ r ) .x. w ) )
9189, 90eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( q p r ) s w ) = ( ( q .+^ r ) .x. w ) )
9280oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( q s w ) = ( q .x. w ) )
9392, 81oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) )
9491, 93eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) <-> ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) )
9582, 86, 943anbi123d 1399 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) <-> ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) ) )
9680oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( q .X. r ) s w ) = ( ( q .X. r ) .x. w ) )
9781oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( q s ( r s w ) ) = ( q s ( r .x. w ) ) )
9880oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( q s ( r .x. w ) ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) )
9997, 98eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( q s ( r s w ) ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) )
10096, 99eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) <-> ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) ) )
10180oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( .1. s w ) = ( .1. .x. w ) )
102101eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( .1. s w ) = w <-> ( .1. .x. w ) = w ) )
103100, 102anbi12d 747 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) <-> ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
10495, 103anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) <-> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
1051042ralbidv 2989 . . . . . . . . 9 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) <-> A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
10679, 105raleqbidv 3152 . . . . . . . 8 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) <-> A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
10779, 106raleqbidv 3152 . . . . . . 7 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) <-> A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
108107anbi2d 740 . . . . . 6 |- ( ( s = .x. /\ k = K /\ p = .+^ ) -> ( ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
10974, 76, 78, 108sbc3ie 3507 . . . . 5 |- ( [. .x. / s ]. [. K / k ]. [. .+^ / p ]. ( F e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. V A. w e. V ( ( ( r s w ) e. V /\ ( r s ( w .+ x ) ) = ( ( r s w ) .+ ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) .+ ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( .1. s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
11072, 109bitri 264 . . . 4 |- ( [. V / v ]. [. .+ / a ]. [. F / f ]. [. .x. / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
11116, 110syl6bb 276 . . 3 |- ( g = W -> ( [. ( Base ` g ) / v ]. [. ( +g ` g ) / a ]. [. (Scalar ` g ) / f ]. [. ( .s ` g ) / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) <-> ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
112 df-lmod 18865 . . 3 |- LMod = { g e. Grp | [. ( Base ` g ) / v ]. [. ( +g ` g ) / a ]. [. (Scalar ` g ) / f ]. [. ( .s ` g ) / s ]. [. ( Base ` f ) / k ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. ( f e. Ring /\ A. q e. k A. r e. k A. x e. v A. w e. v ( ( ( r s w ) e. v /\ ( r s ( w a x ) ) = ( ( r s w ) a ( r s x ) ) /\ ( ( q p r ) s w ) = ( ( q s w ) a ( r s w ) ) ) /\ ( ( ( q t r ) s w ) = ( q s ( r s w ) ) /\ ( ( 1r ` f ) s w ) = w ) ) ) }
113111, 112elrab2 3366 . 2 |- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
114 3anass 1042 . 2 |- ( ( W e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) <-> ( W e. Grp /\ ( F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) ) )
115113, 114bitr4i 267 1 |- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ F e. Ring /\ A. q e. K A. r e. K A. x e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ x ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. x ) ) /\ ( ( q .+^ r ) .x. w ) = ( ( q .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( q .X. r ) .x. w ) = ( q .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   Grpcgrp 17422   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-lmod 18865
This theorem is referenced by:  lmodlema  18868  islmodd  18869  lmodgrp  18870  lmodring  18871  lmodprop2d  18925  isclmp  22897  lmodslmd  29757  lmod1  42281
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