Theorem islmodd 18869

Description: Properties that determine a left module. See note in isgrpd2 17442 regarding the ph on hypotheses that name structure components. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islmodd.v	|- ( ph -> V = ( Base ` W ) )
islmodd.a	|- ( ph -> .+ = ( +g ` W ) )
islmodd.f	|- ( ph -> F = (Scalar ` W ) )
islmodd.s	|- ( ph -> .x. = ( .s ` W ) )
islmodd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` F ) )
islmodd.p	|- ( ph -> .+^ = ( +g ` F ) )
islmodd.t	|- ( ph -> .X. = ( .r ` F ) )
islmodd.u	|- ( ph -> .1. = ( 1r ` F ) )
islmodd.r	|- ( ph -> F e. Ring )
islmodd.l	|- ( ph -> W e. Grp )
islmodd.w	|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. V ) -> ( x .x. y ) e. V )
islmodd.c	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
islmodd.d	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. V ) ) -> ( ( x .+^ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
islmodd.e	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. V ) ) -> ( ( x .X. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
islmodd.g	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( .1. .x. x ) = x )

Assertion

Ref	Expression
islmodd	|- ( ph -> W e. LMod )

Distinct variable groups:   y, z, .+^   x, y, z, B   ph, x, y, z   x, V, y, z   x, .+ , y, z   x, W   x, .x. , y, z   y, .X. , z   x, .1.

Allowed substitution hints:   .+^ ( x)   .X. ( x)   .1. ( y, z)   F( x, y, z)   W( y, z)

Proof of Theorem islmodd

Dummy variables u r w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islmodd.l	. 2 |- ( ph -> W e. Grp )
2		islmodd.f	. . 3 |- ( ph -> F = (Scalar ` W ) )
3		islmodd.r	. . 3 |- ( ph -> F e. Ring )
4	2, 3	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ph -> (Scalar ` W ) e. Ring )
5		islmodd.w	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. V ) -> ( x .x. y ) e. V )
6	5	3expb 1266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. V ) ) -> ( x .x. y ) e. V )
7	6	ralrimivva 2971	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. V ( x .x. y ) e. V )
8		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = r -> ( x .x. y ) = ( r .x. y ) )
9	8	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = r -> ( ( x .x. y ) e. V <-> ( r .x. y ) e. V ) )
10		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( r .x. y ) = ( r .x. w ) )
11	10	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = w -> ( ( r .x. y ) e. V <-> ( r .x. w ) e. V ) )
12	9, 11	rspc2v 3322	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. B /\ w e. V ) -> ( A. x e. B A. y e. V ( x .x. y ) e. V -> ( r .x. w ) e. V ) )
13	12	ad2ant2l 782	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. B /\ r e. B ) /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) -> ( A. x e. B A. y e. V ( x .x. y ) e. V -> ( r .x. w ) e. V ) )
14	7, 13	mpan9 486	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ r e. B ) /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) ) -> ( r .x. w ) e. V )
15		islmodd.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
16	15	ralrimivvva 2972	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. V A. z e. V ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
17		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = r -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( r .x. ( y .+ z ) ) )
18		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = r -> ( x .x. z ) = ( r .x. z ) )
19	8, 18	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = r -> ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) = ( ( r .x. y ) .+ ( r .x. z ) ) )
20	17, 19	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = r -> ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) <-> ( r .x. ( y .+ z ) ) = ( ( r .x. y ) .+ ( r .x. z ) ) ) )
21		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = w -> ( y .+ z ) = ( w .+ z ) )
22	21	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = w -> ( r .x. ( y .+ z ) ) = ( r .x. ( w .+ z ) ) )
23	10	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = w -> ( ( r .x. y ) .+ ( r .x. z ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. z ) ) )
24	22, 23	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( ( r .x. ( y .+ z ) ) = ( ( r .x. y ) .+ ( r .x. z ) ) <-> ( r .x. ( w .+ z ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. z ) ) ) )
25		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = u -> ( w .+ z ) = ( w .+ u ) )
26	25	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = u -> ( r .x. ( w .+ z ) ) = ( r .x. ( w .+ u ) ) )
27		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = u -> ( r .x. z ) = ( r .x. u ) )
28	27	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = u -> ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. z ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = u -> ( ( r .x. ( w .+ z ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. z ) ) <-> ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) ) )
30	20, 24, 29	rspc3v 3325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r e. B /\ w e. V /\ u e. V ) -> ( A. x e. B A. y e. V A. z e. V ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) -> ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) ) )
31	30	3com23 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( r e. B /\ u e. V /\ w e. V ) -> ( A. x e. B A. y e. V A. z e. V ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) -> ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) ) )
32	31	3expb 1266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. B /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) -> ( A. x e. B A. y e. V A. z e. V ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) -> ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) ) )
33	32	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. B /\ r e. B ) /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) -> ( A. x e. B A. y e. V A. z e. V ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) -> ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) ) )
34	16, 33	mpan9 486	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ r e. B ) /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) ) -> ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) )
35		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. B /\ r e. B ) /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) -> x e. B )
36		islmodd.d	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. V ) ) -> ( ( x .+^ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
37	36	3exp2 1285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. B -> ( y e. B -> ( z e. V -> ( ( x .+^ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) ) )
38	37	imp43 621	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. V ) ) -> ( ( x .+^ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
39	38	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> A. y e. B A. z e. V ( ( x .+^ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
40	35, 39	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ r e. B ) /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) ) -> A. y e. B A. z e. V ( ( x .+^ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
41		simprlr 803	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ r e. B ) /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) ) -> r e. B )
42		simprrr 805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ r e. B ) /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) ) -> w e. V )
43		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = r -> ( x .+^ y ) = ( x .+^ r ) )
44	43	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = r -> ( ( x .+^ y ) .x. z ) = ( ( x .+^ r ) .x. z ) )
45		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = r -> ( y .x. z ) = ( r .x. z ) )
46	45	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = r -> ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) = ( ( x .x. z ) .+ ( r .x. z ) ) )
47	44, 46	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = r -> ( ( ( x .+^ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) <-> ( ( x .+^ r ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( r .x. z ) ) ) )
48		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( ( x .+^ r ) .x. z ) = ( ( x .+^ r ) .x. w ) )
49		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( x .x. z ) = ( x .x. w ) )
50		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( r .x. z ) = ( r .x. w ) )
51	49, 50	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( ( x .x. z ) .+ ( r .x. z ) ) = ( ( x .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) )
52	48, 51	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( ( ( x .+^ r ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( r .x. z ) ) <-> ( ( x .+^ r ) .x. w ) = ( ( x .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) )
53	47, 52	rspc2v 3322	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. B /\ w e. V ) -> ( A. y e. B A. z e. V ( ( x .+^ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) -> ( ( x .+^ r ) .x. w ) = ( ( x .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) )
54	41, 42, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ r e. B ) /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) ) -> ( A. y e. B A. z e. V ( ( x .+^ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) -> ( ( x .+^ r ) .x. w ) = ( ( x .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) )
55	40, 54	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ r e. B ) /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) ) -> ( ( x .+^ r ) .x. w ) = ( ( x .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) )
56	14, 34, 55	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ r e. B ) /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) ) -> ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) /\ ( ( x .+^ r ) .x. w ) = ( ( x .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) )
57		islmodd.e	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. V ) ) -> ( ( x .X. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
58	57	3exp2 1285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. B -> ( y e. B -> ( z e. V -> ( ( x .X. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) ) ) ) )
59	58	imp43 621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. V ) ) -> ( ( x .X. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
60	59	ralrimivva 2971	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> A. y e. B A. z e. V ( ( x .X. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
61	35, 60	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ r e. B ) /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) ) -> A. y e. B A. z e. V ( ( x .X. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
62		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = r -> ( x .X. y ) = ( x .X. r ) )
63	62	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = r -> ( ( x .X. y ) .x. z ) = ( ( x .X. r ) .x. z ) )
64	45	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = r -> ( x .x. ( y .x. z ) ) = ( x .x. ( r .x. z ) ) )
65	63, 64	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( y = r -> ( ( ( x .X. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) <-> ( ( x .X. r ) .x. z ) = ( x .x. ( r .x. z ) ) ) )
66		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( ( x .X. r ) .x. z ) = ( ( x .X. r ) .x. w ) )
67	50	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( x .x. ( r .x. z ) ) = ( x .x. ( r .x. w ) ) )
68	66, 67	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( ( ( x .X. r ) .x. z ) = ( x .x. ( r .x. z ) ) <-> ( ( x .X. r ) .x. w ) = ( x .x. ( r .x. w ) ) ) )
69	65, 68	rspc2v 3322	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. B /\ w e. V ) -> ( A. y e. B A. z e. V ( ( x .X. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) -> ( ( x .X. r ) .x. w ) = ( x .x. ( r .x. w ) ) ) )
70	41, 42, 69	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ r e. B ) /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) ) -> ( A. y e. B A. z e. V ( ( x .X. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) -> ( ( x .X. r ) .x. w ) = ( x .x. ( r .x. w ) ) ) )
71	61, 70	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ r e. B ) /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) ) -> ( ( x .X. r ) .x. w ) = ( x .x. ( r .x. w ) ) )
72		islmodd.g	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( .1. .x. x ) = x )
73	72	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. V ( .1. .x. x ) = x )
74		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( .1. .x. x ) = ( .1. .x. w ) )
75		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> x = w )
76	74, 75	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( ( .1. .x. x ) = x <-> ( .1. .x. w ) = w ) )
77	76	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( w e. V -> ( A. x e. V ( .1. .x. x ) = x -> ( .1. .x. w ) = w ) )
78	77	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. B /\ r e. B ) /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) -> ( A. x e. V ( .1. .x. x ) = x -> ( .1. .x. w ) = w ) )
79	73, 78	mpan9 486	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ r e. B ) /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) ) -> ( .1. .x. w ) = w )
80	56, 71, 79	jca32 558	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( x e. B /\ r e. B ) /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) ) -> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) /\ ( ( x .+^ r ) .x. w ) = ( ( x .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( x .X. r ) .x. w ) = ( x .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
81	80	anassrs 680	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ r e. B ) ) /\ ( u e. V /\ w e. V ) ) -> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) /\ ( ( x .+^ r ) .x. w ) = ( ( x .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( x .X. r ) .x. w ) = ( x .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
82	81	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ r e. B ) ) -> A. u e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) /\ ( ( x .+^ r ) .x. w ) = ( ( x .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( x .X. r ) .x. w ) = ( x .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
83	82	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B A. r e. B A. u e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) /\ ( ( x .+^ r ) .x. w ) = ( ( x .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( x .X. r ) .x. w ) = ( x .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) )
84		islmodd.b	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` F ) )
85	2	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
86	84, 85	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> B = ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
87		islmodd.v	. . . . . 6 |- ( ph -> V = ( Base ` W ) )
88		islmodd.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> .x. = ( .s ` W ) )
89	88	oveqd 6667	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( r .x. w ) = ( r ( .s ` W ) w ) )
90	89, 87	eleq12d 2695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( r .x. w ) e. V <-> ( r ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) ) )
91		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> r = r )
92		islmodd.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> .+ = ( +g ` W ) )
93	92	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( w .+ u ) = ( w ( +g ` W ) u ) )
94	88, 91, 93	oveq123d 6671	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( r ( .s ` W ) ( w ( +g ` W ) u ) ) )
95	88	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( r .x. u ) = ( r ( .s ` W ) u ) )
96	92, 89, 95	oveq123d 6671	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) = ( ( r ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) u ) ) )
97	94, 96	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) <-> ( r ( .s ` W ) ( w ( +g ` W ) u ) ) = ( ( r ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) u ) ) ) )
98		islmodd.p	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> .+^ = ( +g ` F ) )
99	2	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( +g ` F ) = ( +g ` (Scalar ` W ) ) )
100	98, 99	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> .+^ = ( +g ` (Scalar ` W ) ) )
101	100	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x .+^ r ) = ( x ( +g ` (Scalar ` W ) ) r ) )
102		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> w = w )
103	88, 101, 102	oveq123d 6671	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x .+^ r ) .x. w ) = ( ( x ( +g ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) )
104	88	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x .x. w ) = ( x ( .s ` W ) w ) )
105	92, 104, 89	oveq123d 6671	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) = ( ( x ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) )
106	103, 105	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( x .+^ r ) .x. w ) = ( ( x .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) <-> ( ( x ( +g ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( ( x ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) ) )
107	90, 97, 106	3anbi123d 1399	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) /\ ( ( x .+^ r ) .x. w ) = ( ( x .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) <-> ( ( r ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) /\ ( r ( .s ` W ) ( w ( +g ` W ) u ) ) = ( ( r ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) u ) ) /\ ( ( x ( +g ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( ( x ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) ) ) )
108		islmodd.t	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> .X. = ( .r ` F ) )
109	2	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( .r ` F ) = ( .r ` (Scalar ` W ) ) )
110	108, 109	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> .X. = ( .r ` (Scalar ` W ) ) )
111	110	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x .X. r ) = ( x ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) )
112	88, 111, 102	oveq123d 6671	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x .X. r ) .x. w ) = ( ( x ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) )
113		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> x = x )
114	88, 113, 89	oveq123d 6671	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x .x. ( r .x. w ) ) = ( x ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) )
115	112, 114	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( x .X. r ) .x. w ) = ( x .x. ( r .x. w ) ) <-> ( ( x ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( x ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) ) )
116		islmodd.u	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> .1. = ( 1r ` F ) )
117	2	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1r ` F ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) ) )
118	116, 117	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> .1. = ( 1r ` (Scalar ` W ) ) )
119	88, 118, 102	oveq123d 6671	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( .1. .x. w ) = ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) w ) )
120	119	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( .1. .x. w ) = w <-> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) w ) = w ) )
121	115, 120	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( x .X. r ) .x. w ) = ( x .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) <-> ( ( ( x ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( x ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) w ) = w ) ) )
122	107, 121	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) /\ ( ( x .+^ r ) .x. w ) = ( ( x .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( x .X. r ) .x. w ) = ( x .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> ( ( ( r ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) /\ ( r ( .s ` W ) ( w ( +g ` W ) u ) ) = ( ( r ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) u ) ) /\ ( ( x ( +g ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( ( x ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) ) /\ ( ( ( x ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( x ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) w ) = w ) ) ) )
123	87, 122	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) /\ ( ( x .+^ r ) .x. w ) = ( ( x .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( x .X. r ) .x. w ) = ( x .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( r ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) /\ ( r ( .s ` W ) ( w ( +g ` W ) u ) ) = ( ( r ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) u ) ) /\ ( ( x ( +g ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( ( x ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) ) /\ ( ( ( x ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( x ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) w ) = w ) ) ) )
124	87, 123	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. u e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) /\ ( ( x .+^ r ) .x. w ) = ( ( x .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( x .X. r ) .x. w ) = ( x .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> A. u e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( r ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) /\ ( r ( .s ` W ) ( w ( +g ` W ) u ) ) = ( ( r ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) u ) ) /\ ( ( x ( +g ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( ( x ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) ) /\ ( ( ( x ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( x ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) w ) = w ) ) ) )
125	86, 124	raleqbidv 3152	. . . 4 |- ( ph -> ( A. r e. B A. u e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) /\ ( ( x .+^ r ) .x. w ) = ( ( x .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( x .X. r ) .x. w ) = ( x .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> A. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. u e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( r ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) /\ ( r ( .s ` W ) ( w ( +g ` W ) u ) ) = ( ( r ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) u ) ) /\ ( ( x ( +g ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( ( x ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) ) /\ ( ( ( x ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( x ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) w ) = w ) ) ) )
126	86, 125	raleqbidv 3152	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. B A. r e. B A. u e. V A. w e. V ( ( ( r .x. w ) e. V /\ ( r .x. ( w .+ u ) ) = ( ( r .x. w ) .+ ( r .x. u ) ) /\ ( ( x .+^ r ) .x. w ) = ( ( x .x. w ) .+ ( r .x. w ) ) ) /\ ( ( ( x .X. r ) .x. w ) = ( x .x. ( r .x. w ) ) /\ ( .1. .x. w ) = w ) ) <-> A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. u e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( r ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) /\ ( r ( .s ` W ) ( w ( +g ` W ) u ) ) = ( ( r ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) u ) ) /\ ( ( x ( +g ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( ( x ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) ) /\ ( ( ( x ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( x ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) w ) = w ) ) ) )
127	83, 126	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. u e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( r ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) /\ ( r ( .s ` W ) ( w ( +g ` W ) u ) ) = ( ( r ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) u ) ) /\ ( ( x ( +g ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( ( x ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) ) /\ ( ( ( x ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( x ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) w ) = w ) ) )
128		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
129		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
130		eqid 2622	. . 3 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
131		eqid 2622	. . 3 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
132		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
133		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` (Scalar ` W ) ) = ( +g ` (Scalar ` W ) )
134		eqid 2622	. . 3 |- ( .r ` (Scalar ` W ) ) = ( .r ` (Scalar ` W ) )
135		eqid 2622	. . 3 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
136	128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135	islmod 18867	. 2 |- ( W e. LMod <-> ( W e. Grp /\ (Scalar ` W ) e. Ring /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. u e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( r ( .s ` W ) w ) e. ( Base ` W ) /\ ( r ( .s ` W ) ( w ( +g ` W ) u ) ) = ( ( r ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) u ) ) /\ ( ( x ( +g ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( ( x ( .s ` W ) w ) ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) ) /\ ( ( ( x ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) w ) = ( x ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) w ) ) /\ ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) w ) = w ) ) ) )
137	1, 4, 127, 136	syl3anbrc 1246	1 |- ( ph -> W e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   Grpcgrp 17422   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-lmod 18865

This theorem is referenced by:  rmodislmod  18931  islss3  18959  prdslmodd  18969  sralmod  19187  psrlmod  19401  zlmlmod  19871  cnlmod  22940  lduallmodlem  34439  dvalveclem  36314  dvhlveclem  36397  mendlmod  37763