Theorem islpidl 19246

Description: Property of being a principal ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpival.p	|- P = (LPIdeal ` R )
lpival.k	|- K = (RSpan ` R )
lpival.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
islpidl	|- ( R e. Ring -> ( I e. P <-> E. g e. B I = ( K ` { g } ) ) )

Distinct variable groups:   R, g   P, g   B, g   g, K   g, I

Proof of Theorem islpidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpival.p	. . . 4 |- P = (LPIdeal ` R )
2		lpival.k	. . . 4 |- K = (RSpan ` R )
3		lpival.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
4	1, 2, 3	lpival 19245	. . 3 |- ( R e. Ring -> P = U_ g e. B { ( K ` { g } ) } )
5	4	eleq2d 2687	. 2 |- ( R e. Ring -> ( I e. P <-> I e. U_ g e. B { ( K ` { g } ) } ) )
6		eliun 4524	. . 3 |- ( I e. U_ g e. B { ( K ` { g } ) } <-> E. g e. B I e. { ( K ` { g } ) } )
7		fvex 6201	. . . . 5 |- ( K ` { g } ) e. _V
8	7	elsn2 4211	. . . 4 |- ( I e. { ( K ` { g } ) } <-> I = ( K ` { g } ) )
9	8	rexbii 3041	. . 3 |- ( E. g e. B I e. { ( K ` { g } ) } <-> E. g e. B I = ( K ` { g } ) )
10	6, 9	bitri 264	. 2 |- ( I e. U_ g e. B { ( K ` { g } ) } <-> E. g e. B I = ( K ` { g } ) )
11	5, 10	syl6bb 276	1 |- ( R e. Ring -> ( I e. P <-> E. g e. B I = ( K ` { g } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {csn 4177   U_ciun 4520   ` cfv 5888   Basecbs 15857   Ringcrg 18547  RSpancrsp 19171  LPIdealclpidl 19241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-lpidl 19243

This theorem is referenced by:  lpi0  19247  lpi1  19248  lpiss  19250  lpigen  19256  ply1lpir  23938  lpirlnr  37687