Theorem lpigen 19256

Description: An ideal is principal iff it contains an element which right-divides all elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpigen.u	|- U = (LIdeal ` R )
lpigen.p	|- P = (LPIdeal ` R )
lpigen.d	|- .|| = ( ||r ` R )

Assertion

Ref	Expression
lpigen	|- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( I e. P <-> E. x e. I A. y e. I x .|| y ) )

Distinct variable groups:   x, R, y   x, I, y   x, U, y   x, P, y   x, .|| , y

Proof of Theorem lpigen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpigen.p	. . . 4 |- P = (LPIdeal ` R )
2		eqid 2622	. . . 4 |- (RSpan ` R ) = (RSpan ` R )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
4	1, 2, 3	islpidl 19246	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( I e. P <-> E. x e. ( Base ` R ) I = ( (RSpan ` R ) ` { x } ) ) )
5	4	adantr 481	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( I e. P <-> E. x e. ( Base ` R ) I = ( (RSpan ` R ) ` { x } ) ) )
6		lpigen.u	. . . . 5 |- U = (LIdeal ` R )
7		lpigen.d	. . . . 5 |- .|| = ( ||r ` R )
8	3, 6, 2, 7	lidldvgen 19255	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( I = ( (RSpan ` R ) ` { x } ) <-> ( x e. I /\ A. y e. I x .|| y ) ) )
9	8	3expa 1265	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( I = ( (RSpan ` R ) ` { x } ) <-> ( x e. I /\ A. y e. I x .|| y ) ) )
10	9	rexbidva 3049	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( E. x e. ( Base ` R ) I = ( (RSpan ` R ) ` { x } ) <-> E. x e. ( Base ` R ) ( x e. I /\ A. y e. I x .|| y ) ) )
11		simpr 477	. . . 4 |- ( ( x e. ( Base ` R ) /\ ( x e. I /\ A. y e. I x .|| y ) ) -> ( x e. I /\ A. y e. I x .|| y ) )
12	3, 6	lidlss 19210	. . . . . . . 8 |- ( I e. U -> I C_ ( Base ` R ) )
13	12	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> I C_ ( Base ` R ) )
14	13	sseld 3602	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( x e. I -> x e. ( Base ` R ) ) )
15	14	adantrd 484	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( ( x e. I /\ A. y e. I x .|| y ) -> x e. ( Base ` R ) ) )
16	15	ancrd 577	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( ( x e. I /\ A. y e. I x .|| y ) -> ( x e. ( Base ` R ) /\ ( x e. I /\ A. y e. I x .|| y ) ) ) )
17	11, 16	impbid2 216	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( ( x e. ( Base ` R ) /\ ( x e. I /\ A. y e. I x .|| y ) ) <-> ( x e. I /\ A. y e. I x .|| y ) ) )
18	17	rexbidv2 3048	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( E. x e. ( Base ` R ) ( x e. I /\ A. y e. I x .|| y ) <-> E. x e. I A. y e. I x .|| y ) )
19	5, 10, 18	3bitrd 294	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( I e. P <-> E. x e. I A. y e. I x .|| y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   Ringcrg 18547   ||_rcdsr 18638  LIdealclidl 19170  RSpancrsp 19171  LPIdealclpidl 19241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-dvdsr 18641  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-lpidl 19243

This theorem is referenced by:  zringlpir  19837