Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismntop Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem ismntop 30070
Description: Property of being a manifold. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
ismntop |- ( ( N e. NN0 /\ J e. V ) -> ( NManTop J <-> ( J e. 2ndc /\ J e. Haus /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) ~= ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   u, J, x, y   u, N, x, y
Allowed substitution hints:   V( x, y, u)
Proof of Theorem ismntop
StepHypRef Expression
1 ismntoplly 30069 . 2 |- ( ( N e. NN0 /\ J e. V ) -> ( NManTop J <-> ( J e. 2ndc /\ J e. Haus /\ J e. Locally [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= ) ) )
2 haustop 21135 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Haus -> J e. Top )
32adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ J e. Haus ) -> J e. Top )
43biantrurd 529 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ J e. Haus ) -> ( A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= ) <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= ) ) ) )
5 hmpher 21587 . . . . . . . . . . . . 13 |- ~= Er Top
6 errel 7751 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~= Er Top -> Rel ~= )
7 relelec 7787 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Rel ~= -> ( ( J ↾t u ) e. [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= <-> ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ~= ( J ↾t u ) ) )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J ↾t u ) e. [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= <-> ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ~= ( J ↾t u ) )
9 hmphsymb 21589 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ~= ( J ↾t u ) <-> ( J ↾t u ) ~= ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) )
108, 9bitr2i 265 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ↾t u ) ~= ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) <-> ( J ↾t u ) e. [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= )
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ J e. Haus ) -> ( ( J ↾t u ) ~= ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) <-> ( J ↾t u ) e. [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= ) )
1211anbi2d 740 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ J e. Haus ) -> ( ( y e. u /\ ( J ↾t u ) ~= ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ) <-> ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= ) ) )
1312rexbidv 3052 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ J e. Haus ) -> ( E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) ~= ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ) <-> E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= ) ) )
14132ralbidv 2989 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ J e. Haus ) -> ( A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) ~= ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ) <-> A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= ) ) )
15 islly 21271 . . . . . . . 8 |- ( J e. Locally [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= ) ) )
1615a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ J e. Haus ) -> ( J e. Locally [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) e. [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= ) ) ) )
174, 14, 163bitr4rd 301 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ J e. Haus ) -> ( J e. Locally [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= <-> A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) ~= ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ) ) )
1817pm5.32da 673 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( J e. Haus /\ J e. Locally [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= ) <-> ( J e. Haus /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) ~= ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ) ) ) )
1918anbi2d 740 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( J e. 2ndc /\ ( J e. Haus /\ J e. Locally [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= ) ) <-> ( J e. 2ndc /\ ( J e. Haus /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) ~= ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ) ) ) ) )
20 3anass 1042 . . . 4 |- ( ( J e. 2ndc /\ J e. Haus /\ J e. Locally [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= ) <-> ( J e. 2ndc /\ ( J e. Haus /\ J e. Locally [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= ) ) )
21 3anass 1042 . . . 4 |- ( ( J e. 2ndc /\ J e. Haus /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) ~= ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ) ) <-> ( J e. 2ndc /\ ( J e. Haus /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) ~= ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ) ) ) )
2219, 20, 213bitr4g 303 . . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( J e. 2ndc /\ J e. Haus /\ J e. Locally [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= ) <-> ( J e. 2ndc /\ J e. Haus /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) ~= ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ) ) ) )
2322adantr 481 . 2 |- ( ( N e. NN0 /\ J e. V ) -> ( ( J e. 2ndc /\ J e. Haus /\ J e. Locally [ ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ] ~= ) <-> ( J e. 2ndc /\ J e. Haus /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) ~= ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ) ) ) )
241, 23bitrd 268 1 |- ( ( N e. NN0 /\ J e. V ) -> ( NManTop J <-> ( J e. 2ndc /\ J e. Haus /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( J i^i ~P x ) ( y e. u /\ ( J ↾t u ) ~= ( TopOpen ` (𝔼hil ` N ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   Rel wrel 5119   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Er wer 7739   [cec 7740   NN0cn0 11292   ↾t crest 16081   TopOpenctopn 16082   Topctop 20698   Hauscha 21112   2ndcc2ndc 21241  Locally clly 21267   ~= chmph 21557  𝔼hilcehl 23172  ManTopcmntop 30066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-1o 7560  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031  df-haus 21119  df-lly 21269  df-hmeo 21558  df-hmph 21559  df-mntop 30067
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator