Theorem nexple 30071

Description: A lower bound for an exponentiation. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
nexple	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. RR /\ 2 <_ B ) -> A <_ ( B ^ A ) )

Proof of Theorem nexple

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . 3 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ A e. NN ) -> A e. NN )
2		simpl2 1065	. . 3 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ A e. NN ) -> B e. RR )
3		simpl3 1066	. . 3 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ A e. NN ) -> 2 <_ B )
4		id 22	. . . . . . 7 |- ( k = 1 -> k = 1 )
5		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( k = 1 -> ( B ^ k ) = ( B ^ 1 ) )
6	4, 5	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( k = 1 -> ( k <_ ( B ^ k ) <-> 1 <_ ( B ^ 1 ) ) )
7	6	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( k = 1 -> ( ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> k <_ ( B ^ k ) ) <-> ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> 1 <_ ( B ^ 1 ) ) ) )
8		id 22	. . . . . . 7 |- ( k = n -> k = n )
9		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( k = n -> ( B ^ k ) = ( B ^ n ) )
10	8, 9	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( k <_ ( B ^ k ) <-> n <_ ( B ^ n ) ) )
11	10	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( k = n -> ( ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> k <_ ( B ^ k ) ) <-> ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> n <_ ( B ^ n ) ) ) )
12		id 22	. . . . . . 7 |- ( k = ( n + 1 ) -> k = ( n + 1 ) )
13		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( B ^ k ) = ( B ^ ( n + 1 ) ) )
14	12, 13	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( k <_ ( B ^ k ) <-> ( n + 1 ) <_ ( B ^ ( n + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> k <_ ( B ^ k ) ) <-> ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> ( n + 1 ) <_ ( B ^ ( n + 1 ) ) ) ) )
16		id 22	. . . . . . 7 |- ( k = A -> k = A )
17		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( k = A -> ( B ^ k ) = ( B ^ A ) )
18	16, 17	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( k = A -> ( k <_ ( B ^ k ) <-> A <_ ( B ^ A ) ) )
19	18	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( k = A -> ( ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> k <_ ( B ^ k ) ) <-> ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> A <_ ( B ^ A ) ) ) )
20		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> B e. RR )
21		1nn0 11308	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
22	21	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> 1 e. NN0 )
23		1red 10055	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> 1 e. RR )
24		2re 11090	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> 2 e. RR )
26		1le2 11241	. . . . . . . 8 |- 1 <_ 2
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> 1 <_ 2 )
28		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> 2 <_ B )
29	23, 25, 20, 27, 28	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> 1 <_ B )
30	20, 22, 29	expge1d 13027	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> 1 <_ ( B ^ 1 ) )
31		simp1 1061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> n e. NN )
32	31	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> n e. NN0 )
33	32	nn0red 11352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> n e. RR )
34		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> 1 e. RR )
35	33, 34	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> ( n + 1 ) e. RR )
36	20	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> B e. RR )
37	33, 36	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> ( n x. B ) e. RR )
38	36, 32	reexpcld 13025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> ( B ^ n ) e. RR )
39	38, 36	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> ( ( B ^ n ) x. B ) e. RR )
40	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> 2 e. RR )
41	33, 40	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> ( n x. 2 ) e. RR )
42	31	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> 1 <_ n )
43	34, 33, 33, 42	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> ( n + 1 ) <_ ( n + n ) )
44	33	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> n e. CC )
45	44	times2d 11276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> ( n x. 2 ) = ( n + n ) )
46	43, 45	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> ( n + 1 ) <_ ( n x. 2 ) )
47	32	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> 0 <_ n )
48		simp2r 1088	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> 2 <_ B )
49	40, 36, 33, 47, 48	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> ( n x. 2 ) <_ ( n x. B ) )
50	35, 41, 37, 46, 49	letrd 10194	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> ( n + 1 ) <_ ( n x. B ) )
51		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> 0 e. RR )
52		0le2 11111	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 2
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> 0 <_ 2 )
54	51, 25, 20, 53, 28	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> 0 <_ B )
55	54	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> 0 <_ B )
56		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> n <_ ( B ^ n ) )
57	33, 38, 36, 55, 56	lemul1ad 10963	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> ( n x. B ) <_ ( ( B ^ n ) x. B ) )
58	35, 37, 39, 50, 57	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> ( n + 1 ) <_ ( ( B ^ n ) x. B ) )
59	36	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> B e. CC )
60	59, 32	expp1d 13009	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> ( B ^ ( n + 1 ) ) = ( ( B ^ n ) x. B ) )
61	58, 60	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ ( B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ n <_ ( B ^ n ) ) -> ( n + 1 ) <_ ( B ^ ( n + 1 ) ) )
62	61	3exp 1264	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> ( n <_ ( B ^ n ) -> ( n + 1 ) <_ ( B ^ ( n + 1 ) ) ) ) )
63	62	a2d 29	. . . . 5 |- ( n e. NN -> ( ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> n <_ ( B ^ n ) ) -> ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> ( n + 1 ) <_ ( B ^ ( n + 1 ) ) ) ) )
64	7, 11, 15, 19, 30, 63	nnind 11038	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( ( B e. RR /\ 2 <_ B ) -> A <_ ( B ^ A ) ) )
65	64	3impib 1262	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. RR /\ 2 <_ B ) -> A <_ ( B ^ A ) )
66	1, 2, 3, 65	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ A e. NN ) -> A <_ ( B ^ A ) )
67		0le1 10551	. . . 4 |- 0 <_ 1
68	67	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ A = 0 ) -> 0 <_ 1 )
69		simpr 477	. . 3 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ A = 0 ) -> A = 0 )
70	69	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ A = 0 ) -> ( B ^ A ) = ( B ^ 0 ) )
71		simpl2 1065	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ A = 0 ) -> B e. RR )
72	71	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ A = 0 ) -> B e. CC )
73	72	exp0d 13002	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ A = 0 ) -> ( B ^ 0 ) = 1 )
74	70, 73	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ A = 0 ) -> ( B ^ A ) = 1 )
75	68, 69, 74	3brtr4d 4685	. 2 |- ( ( ( A e. NN0 /\ B e. RR /\ 2 <_ B ) /\ A = 0 ) -> A <_ ( B ^ A ) )
76		elnn0 11294	. . . 4 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )
77	76	biimpi 206	. . 3 |- ( A e. NN0 -> ( A e. NN \/ A = 0 ) )
78	77	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. RR /\ 2 <_ B ) -> ( A e. NN \/ A = 0 ) )
79	66, 75, 78	mpjaodan 827	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. RR /\ 2 <_ B ) -> A <_ ( B ^ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  oddpwdc  30416