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Theorem ismtycnv 33601
Description: The inverse of an isometry is an isometry. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
ismtycnv |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( M Ismty N ) -> `' F e. ( N Ismty M ) ) )
Proof of Theorem ismtycnv
Dummy variables v u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6149 . . . . 5 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
21adantr 481 . . . 4 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
3 f1ocnvdm 6540 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ u e. Y ) -> ( `' F ` u ) e. X )
43ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( u e. Y -> ( `' F ` u ) e. X ) )
5 f1ocnvdm 6540 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ v e. Y ) -> ( `' F ` v ) e. X )
65ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( v e. Y -> ( `' F ` v ) e. X ) )
74, 6anim12d 586 . . . . . . . . 9 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( ( u e. Y /\ v e. Y ) -> ( ( `' F ` u ) e. X /\ ( `' F ` v ) e. X ) ) )
87adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) -> ( ( u e. Y /\ v e. Y ) -> ( ( `' F ` u ) e. X /\ ( `' F ` v ) e. X ) ) )
98imdistani 726 . . . . . . 7 |- ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) /\ ( ( `' F ` u ) e. X /\ ( `' F ` v ) e. X ) ) )
10 oveq1 6657 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' F ` u ) -> ( x M y ) = ( ( `' F ` u ) M y ) )
11 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F ` u ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( `' F ` u ) ) )
1211oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' F ` u ) -> ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) = ( ( F ` ( `' F ` u ) ) N ( F ` y ) ) )
1310, 12eqeq12d 2637 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F ` u ) -> ( ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) <-> ( ( `' F ` u ) M y ) = ( ( F ` ( `' F ` u ) ) N ( F ` y ) ) ) )
14 oveq2 6658 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( `' F ` v ) -> ( ( `' F ` u ) M y ) = ( ( `' F ` u ) M ( `' F ` v ) ) )
15 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( `' F ` v ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( `' F ` v ) ) )
1615oveq2d 6666 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( `' F ` v ) -> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) N ( F ` y ) ) = ( ( F ` ( `' F ` u ) ) N ( F ` ( `' F ` v ) ) ) )
1714, 16eqeq12d 2637 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( `' F ` v ) -> ( ( ( `' F ` u ) M y ) = ( ( F ` ( `' F ` u ) ) N ( F ` y ) ) <-> ( ( `' F ` u ) M ( `' F ` v ) ) = ( ( F ` ( `' F ` u ) ) N ( F ` ( `' F ` v ) ) ) ) )
1813, 17rspc2v 3322 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( `' F ` u ) e. X /\ ( `' F ` v ) e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) -> ( ( `' F ` u ) M ( `' F ` v ) ) = ( ( F ` ( `' F ` u ) ) N ( F ` ( `' F ` v ) ) ) ) )
1918impcom 446 . . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) /\ ( ( `' F ` u ) e. X /\ ( `' F ` v ) e. X ) ) -> ( ( `' F ` u ) M ( `' F ` v ) ) = ( ( F ` ( `' F ` u ) ) N ( F ` ( `' F ` v ) ) ) )
2019adantll 750 . . . . . . 7 |- ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) /\ ( ( `' F ` u ) e. X /\ ( `' F ` v ) e. X ) ) -> ( ( `' F ` u ) M ( `' F ` v ) ) = ( ( F ` ( `' F ` u ) ) N ( F ` ( `' F ` v ) ) ) )
219, 20syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( ( `' F ` u ) M ( `' F ` v ) ) = ( ( F ` ( `' F ` u ) ) N ( F ` ( `' F ` v ) ) ) )
22 f1ocnvfv2 6533 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ u e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` u ) ) = u )
2322adantrr 753 . . . . . . . 8 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( F ` ( `' F ` u ) ) = u )
24 f1ocnvfv2 6533 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ v e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` v ) ) = v )
2524adantrl 752 . . . . . . . 8 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( F ` ( `' F ` v ) ) = v )
2623, 25oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) N ( F ` ( `' F ` v ) ) ) = ( u N v ) )
2726adantlr 751 . . . . . 6 |- ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) N ( F ` ( `' F ` v ) ) ) = ( u N v ) )
2821, 27eqtr2d 2657 . . . . 5 |- ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) /\ ( u e. Y /\ v e. Y ) ) -> ( u N v ) = ( ( `' F ` u ) M ( `' F ` v ) ) )
2928ralrimivva 2971 . . . 4 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) -> A. u e. Y A. v e. Y ( u N v ) = ( ( `' F ` u ) M ( `' F ` v ) ) )
302, 29jca 554 . . 3 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) -> ( `' F : Y -1-1-onto-> X /\ A. u e. Y A. v e. Y ( u N v ) = ( ( `' F ` u ) M ( `' F ` v ) ) ) )
3130a1i 11 . 2 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) -> ( `' F : Y -1-1-onto-> X /\ A. u e. Y A. v e. Y ( u N v ) = ( ( `' F ` u ) M ( `' F ` v ) ) ) ) )
32 isismty 33600 . 2 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( M Ismty N ) <-> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) ) )
33 isismty 33600 . . 3 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ M e. ( *Met ` X ) ) -> ( `' F e. ( N Ismty M ) <-> ( `' F : Y -1-1-onto-> X /\ A. u e. Y A. v e. Y ( u N v ) = ( ( `' F ` u ) M ( `' F ` v ) ) ) ) )
3433ancoms 469 . 2 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( `' F e. ( N Ismty M ) <-> ( `' F : Y -1-1-onto-> X /\ A. u e. Y A. v e. Y ( u N v ) = ( ( `' F ` u ) M ( `' F ` v ) ) ) ) )
3531, 32, 343imtr4d 283 1 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( M Ismty N ) -> `' F e. ( N Ismty M ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   `'ccnv 5113   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   *Metcxmt 19731   Ismty cismty 33597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-xr 10078  df-xmet 19739  df-ismty 33598
This theorem is referenced by:  ismtyhmeolem  33603  ismtyhmeo  33604  ismtybnd  33606
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