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Theorem ismtyima 33602
Description: The image of a ball under an isometry is another ball. (Contributed by Jeff Madsen, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismtyima |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> ( F " ( P ( ball ` M ) R ) ) = ( ( F ` P ) ( ball ` N ) R ) )
Proof of Theorem ismtyima
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5477 . . . . 5 |- ( F " ( P ( ball ` M ) R ) ) C_ ran F
2 isismty 33600 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( M Ismty N ) <-> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) ) )
32biimp3a 1432 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) )
43adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) )
54simpld 475 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
6 f1of 6137 . . . . . . 7 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X --> Y )
75, 6syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> F : X --> Y )
8 frn 6053 . . . . . 6 |- ( F : X --> Y -> ran F C_ Y )
97, 8syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> ran F C_ Y )
101, 9syl5ss 3614 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> ( F " ( P ( ball ` M ) R ) ) C_ Y )
1110sseld 3602 . . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> ( x e. ( F " ( P ( ball ` M ) R ) ) -> x e. Y ) )
12 simpl2 1065 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
13 simprl 794 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> P e. X )
14 ffvelrn 6357 . . . . . 6 |- ( ( F : X --> Y /\ P e. X ) -> ( F ` P ) e. Y )
157, 13, 14syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> ( F ` P ) e. Y )
16 simprr 796 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> R e. RR* )
17 blssm 22223 . . . . 5 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ ( F ` P ) e. Y /\ R e. RR* ) -> ( ( F ` P ) ( ball ` N ) R ) C_ Y )
1812, 15, 16, 17syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> ( ( F ` P ) ( ball ` N ) R ) C_ Y )
1918sseld 3602 . . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> ( x e. ( ( F ` P ) ( ball ` N ) R ) -> x e. Y ) )
20 simpl1 1064 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
2120adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> M e. ( *Met ` X ) )
22 simplrr 801 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> R e. RR* )
23 simplrl 800 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> P e. X )
24 f1ocnv 6149 . . . . . . . . . 10 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
25 f1of 6137 . . . . . . . . . 10 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F : Y --> X )
265, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> `' F : Y --> X )
27 ffvelrn 6357 . . . . . . . . 9 |- ( ( `' F : Y --> X /\ x e. Y ) -> ( `' F ` x ) e. X )
2826, 27sylan 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> ( `' F ` x ) e. X )
29 elbl2 22195 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ R e. RR* ) /\ ( P e. X /\ ( `' F ` x ) e. X ) ) -> ( ( `' F ` x ) e. ( P ( ball ` M ) R ) <-> ( P M ( `' F ` x ) ) < R ) )
3021, 22, 23, 28, 29syl22anc 1327 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( `' F ` x ) e. ( P ( ball ` M ) R ) <-> ( P M ( `' F ` x ) ) < R ) )
314simprd 479 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) )
32 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = P -> ( x M y ) = ( P M y ) )
33 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = P -> ( F ` x ) = ( F ` P ) )
3433oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = P -> ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) = ( ( F ` P ) N ( F ` y ) ) )
3532, 34eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = P -> ( ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) <-> ( P M y ) = ( ( F ` P ) N ( F ` y ) ) ) )
36 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( `' F ` x ) -> ( P M y ) = ( P M ( `' F ` x ) ) )
37 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( `' F ` x ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( `' F ` x ) ) )
3837oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( `' F ` x ) -> ( ( F ` P ) N ( F ` y ) ) = ( ( F ` P ) N ( F ` ( `' F ` x ) ) ) )
3936, 38eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( `' F ` x ) -> ( ( P M y ) = ( ( F ` P ) N ( F ` y ) ) <-> ( P M ( `' F ` x ) ) = ( ( F ` P ) N ( F ` ( `' F ` x ) ) ) ) )
4035, 39rspc2v 3322 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. X /\ ( `' F ` x ) e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) -> ( P M ( `' F ` x ) ) = ( ( F ` P ) N ( F ` ( `' F ` x ) ) ) ) )
4140impancom 456 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. X /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) -> ( ( `' F ` x ) e. X -> ( P M ( `' F ` x ) ) = ( ( F ` P ) N ( F ` ( `' F ` x ) ) ) ) )
4213, 31, 41syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> ( ( `' F ` x ) e. X -> ( P M ( `' F ` x ) ) = ( ( F ` P ) N ( F ` ( `' F ` x ) ) ) ) )
4342imp 445 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ ( `' F ` x ) e. X ) -> ( P M ( `' F ` x ) ) = ( ( F ` P ) N ( F ` ( `' F ` x ) ) ) )
4428, 43syldan 487 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> ( P M ( `' F ` x ) ) = ( ( F ` P ) N ( F ` ( `' F ` x ) ) ) )
4544breq1d 4663 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( P M ( `' F ` x ) ) < R <-> ( ( F ` P ) N ( F ` ( `' F ` x ) ) ) < R ) )
4630, 45bitrd 268 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( `' F ` x ) e. ( P ( ball ` M ) R ) <-> ( ( F ` P ) N ( F ` ( `' F ` x ) ) ) < R ) )
47 f1of1 6136 . . . . . . . . 9 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -1-1-> Y )
485, 47syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> F : X -1-1-> Y )
4948adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> F : X -1-1-> Y )
50 blssm 22223 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` M ) R ) C_ X )
5120, 13, 16, 50syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> ( P ( ball ` M ) R ) C_ X )
5251adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> ( P ( ball ` M ) R ) C_ X )
53 f1elima 6520 . . . . . . 7 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ ( `' F ` x ) e. X /\ ( P ( ball ` M ) R ) C_ X ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) e. ( F " ( P ( ball ` M ) R ) ) <-> ( `' F ` x ) e. ( P ( ball ` M ) R ) ) )
5449, 28, 52, 53syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) e. ( F " ( P ( ball ` M ) R ) ) <-> ( `' F ` x ) e. ( P ( ball ` M ) R ) ) )
5512adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
5615adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> ( F ` P ) e. Y )
57 f1ocnvfv2 6533 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ x e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
585, 57sylan 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
59 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> x e. Y )
6058, 59eqeltrd 2701 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) e. Y )
61 elbl2 22195 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ R e. RR* ) /\ ( ( F ` P ) e. Y /\ ( F ` ( `' F ` x ) ) e. Y ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` N ) R ) <-> ( ( F ` P ) N ( F ` ( `' F ` x ) ) ) < R ) )
6255, 22, 56, 60, 61syl22anc 1327 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` N ) R ) <-> ( ( F ` P ) N ( F ` ( `' F ` x ) ) ) < R ) )
6346, 54, 623bitr4d 300 . . . . 5 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) e. ( F " ( P ( ball ` M ) R ) ) <-> ( F ` ( `' F ` x ) ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` N ) R ) ) )
6458eleq1d 2686 . . . . 5 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) e. ( F " ( P ( ball ` M ) R ) ) <-> x e. ( F " ( P ( ball ` M ) R ) ) ) )
6558eleq1d 2686 . . . . 5 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) e. ( ( F ` P ) ( ball ` N ) R ) <-> x e. ( ( F ` P ) ( ball ` N ) R ) ) )
6663, 64, 653bitr3d 298 . . . 4 |- ( ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. ( F " ( P ( ball ` M ) R ) ) <-> x e. ( ( F ` P ) ( ball ` N ) R ) ) )
6766ex 450 . . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> ( x e. Y -> ( x e. ( F " ( P ( ball ` M ) R ) ) <-> x e. ( ( F ` P ) ( ball ` N ) R ) ) ) )
6811, 19, 67pm5.21ndd 369 . 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> ( x e. ( F " ( P ( ball ` M ) R ) ) <-> x e. ( ( F ` P ) ( ball ` N ) R ) ) )
6968eqrdv 2620 1 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( M Ismty N ) ) /\ ( P e. X /\ R e. RR* ) ) -> ( F " ( P ( ball ` M ) R ) ) = ( ( F ` P ) ( ball ` N ) R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   < clt 10074   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733   Ismty cismty 33597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-xr 10078  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-ismty 33598
This theorem is referenced by:  ismtyhmeolem  33603  ismtybndlem  33605
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