Theorem isismty 33600

Description: The condition "is an isometry". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
isismty	|- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( M Ismty N ) <-> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, M, y   x, N, y   x, X, y   x, Y, y   x, F, y

Proof of Theorem isismty

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismtyval 33599	. . 3 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( M Ismty N ) = { f | ( f : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) } )
2	1	eleq2d 2687	. 2 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( M Ismty N ) <-> F e. { f | ( f : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) } ) )
3		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X --> Y )
4	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) -> F : X --> Y )
5		elfvdm 6220	. . . . . 6 |- ( M e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
6		elfvdm 6220	. . . . . 6 |- ( N e. ( *Met ` Y ) -> Y e. dom *Met )
7		fex2 7121	. . . . . 6 |- ( ( F : X --> Y /\ X e. dom *Met /\ Y e. dom *Met ) -> F e. _V )
8	4, 5, 6, 7	syl3an 1368	. . . . 5 |- ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) /\ M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> F e. _V )
9	8	3expib 1268	. . . 4 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) -> ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> F e. _V ) )
10	9	com12 32	. . 3 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) -> F e. _V ) )
11		f1oeq1 6127	. . . . 5 |- ( f = F -> ( f : X -1-1-onto-> Y <-> F : X -1-1-onto-> Y ) )
12		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
13		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` y ) = ( F ` y ) )
14	12, 13	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) )
15	14	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) <-> ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) )
16	15	2ralbidv 2989	. . . . 5 |- ( f = F -> ( A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) )
17	11, 16	anbi12d 747	. . . 4 |- ( f = F -> ( ( f : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) <-> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) ) )
18	17	elab3g 3357	. . 3 |- ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) -> F e. _V ) -> ( F e. { f | ( f : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) } <-> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) ) )
19	10, 18	syl 17	. 2 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. { f | ( f : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( f ` x ) N ( f ` y ) ) ) } <-> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) ) )
20	2, 19	bitrd 268	1 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ N e. ( *Met ` Y ) ) -> ( F e. ( M Ismty N ) <-> ( F : X -1-1-onto-> Y /\ A. x e. X A. y e. X ( x M y ) = ( ( F ` x ) N ( F ` y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   dom cdm 5114   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   *Metcxmt 19731   Ismty cismty 33597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-xr 10078  df-xmet 19739  df-ismty 33598

This theorem is referenced by:  ismtycnv  33601  ismtyima  33602  ismtyhmeolem  33603  ismtybndlem  33605  ismtyres  33607  ismrer1  33637  reheibor  33638