Theorem isnat 16607

Description: Property of being a natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
natfval.1	|- N = ( C Nat D )
natfval.b	|- B = ( Base ` C )
natfval.h	|- H = ( Hom ` C )
natfval.j	|- J = ( Hom ` D )
natfval.o	|- .x. = (comp ` D )
isnat.f	|- ( ph -> F ( C Func D ) G )
isnat.g	|- ( ph -> K ( C Func D ) L )

Assertion

Ref	Expression
isnat	|- ( ph -> ( A e. ( <. F , G >. N <. K , L >. ) <-> ( A e. X_ x e. B ( ( F ` x ) J ( K ` x ) ) /\ A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( A ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( A ` x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, h, y, A   x, B, y   C, h, x, y   h, F, x, y   h, G, x, y   h, H   ph, h, x, y   h, K, x, y   h, L, x, y   D, h, x, y

Allowed substitution hints:   B( h)   .x. ( x, y, h)   H( x, y)   J( x, y, h)   N( x, y, h)

Proof of Theorem isnat

Dummy variables a f g r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natfval.1	. . . . . 6 |- N = ( C Nat D )
2		natfval.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` C )
3		natfval.h	. . . . . 6 |- H = ( Hom ` C )
4		natfval.j	. . . . . 6 |- J = ( Hom ` D )
5		natfval.o	. . . . . 6 |- .x. = (comp ` D )
6	1, 2, 3, 4, 5	natfval 16606	. . . . 5 |- N = ( f e. ( C Func D ) , g e. ( C Func D ) |-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } )
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> N = ( f e. ( C Func D ) , g e. ( C Func D ) |-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } ) )
8		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) -> ( 1st ` f ) e. _V )
9		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) -> f = <. F , G >. )
10	9	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) -> ( 1st ` f ) = ( 1st ` <. F , G >. ) )
11		relfunc 16522	. . . . . . . . 9 |- Rel ( C Func D )
12		isnat.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F ( C Func D ) G )
13		brrelex12 5155	. . . . . . . . 9 |- ( ( Rel ( C Func D ) /\ F ( C Func D ) G ) -> ( F e. _V /\ G e. _V ) )
14	11, 12, 13	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F e. _V /\ G e. _V ) )
15		op1stg 7180	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. _V /\ G e. _V ) -> ( 1st ` <. F , G >. ) = F )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1st ` <. F , G >. ) = F )
17	16	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) -> ( 1st ` <. F , G >. ) = F )
18	10, 17	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) -> ( 1st ` f ) = F )
19		fvexd 6203	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) -> ( 1st ` g ) e. _V )
20		simplrr 801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) -> g = <. K , L >. )
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) -> ( 1st ` g ) = ( 1st ` <. K , L >. ) )
22		isnat.g	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K ( C Func D ) L )
23		brrelex12 5155	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Rel ( C Func D ) /\ K ( C Func D ) L ) -> ( K e. _V /\ L e. _V ) )
24	11, 22, 23	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K e. _V /\ L e. _V ) )
25		op1stg 7180	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. _V /\ L e. _V ) -> ( 1st ` <. K , L >. ) = K )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1st ` <. K , L >. ) = K )
27	26	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) -> ( 1st ` <. K , L >. ) = K )
28	21, 27	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) -> ( 1st ` g ) = K )
29		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> r = F )
30	29	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( r ` x ) = ( F ` x ) )
31		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> s = K )
32	31	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( s ` x ) = ( K ` x ) )
33	30, 32	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) = ( ( F ` x ) J ( K ` x ) ) )
34	33	ixpeq2dv 7924	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) = X_ x e. B ( ( F ` x ) J ( K ` x ) ) )
35	29	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( r ` y ) = ( F ` y ) )
36	30, 35	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. = <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. )
37	31	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( s ` y ) = ( K ` y ) )
38	36, 37	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) = ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) )
39		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( a ` y ) = ( a ` y ) )
40	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> f = <. F , G >. )
41	40	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( 2nd ` f ) = ( 2nd ` <. F , G >. ) )
42		op2ndg 7181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. _V /\ G e. _V ) -> ( 2nd ` <. F , G >. ) = G )
43	14, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2nd ` <. F , G >. ) = G )
44	43	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( 2nd ` <. F , G >. ) = G )
45	41, 44	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( 2nd ` f ) = G )
46	45	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( x ( 2nd ` f ) y ) = ( x G y ) )
47	46	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) = ( ( x G y ) ` h ) )
48	38, 39, 47	oveq123d 6671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( a ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) )
49	30, 32	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. = <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. )
50	49, 37	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) = ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) )
51	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> g = <. K , L >. )
52	51	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( 2nd ` g ) = ( 2nd ` <. K , L >. ) )
53		op2ndg 7181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. _V /\ L e. _V ) -> ( 2nd ` <. K , L >. ) = L )
54	24, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2nd ` <. K , L >. ) = L )
55	54	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( 2nd ` <. K , L >. ) = L )
56	52, 55	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( 2nd ` g ) = L )
57	56	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( x ( 2nd ` g ) y ) = ( x L y ) )
58	57	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) = ( ( x L y ) ` h ) )
59		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( a ` x ) = ( a ` x ) )
60	50, 58, 59	oveq123d 6671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( a ` x ) ) )
61	48, 60	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) <-> ( ( a ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( a ` x ) ) ) )
62	61	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) <-> A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( a ` x ) ) ) )
63	62	2ralbidv 2989	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( a ` x ) ) ) )
64	34, 63	rabeqbidv 3195	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) /\ s = K ) -> { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } = { a e. X_ x e. B ( ( F ` x ) J ( K ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( a ` x ) ) } )
65	19, 28, 64	csbied2 3561	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) /\ r = F ) -> [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } = { a e. X_ x e. B ( ( F ` x ) J ( K ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( a ` x ) ) } )
66	8, 18, 65	csbied2 3561	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f = <. F , G >. /\ g = <. K , L >. ) ) -> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } = { a e. X_ x e. B ( ( F ` x ) J ( K ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( a ` x ) ) } )
67		df-br 4654	. . . . 5 |- ( F ( C Func D ) G <-> <. F , G >. e. ( C Func D ) )
68	12, 67	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> <. F , G >. e. ( C Func D ) )
69		df-br 4654	. . . . 5 |- ( K ( C Func D ) L <-> <. K , L >. e. ( C Func D ) )
70	22, 69	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> <. K , L >. e. ( C Func D ) )
71		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) J ( K ` x ) ) e. _V
72	71	rgenw 2924	. . . . . . 7 |- A. x e. B ( ( F ` x ) J ( K ` x ) ) e. _V
73		ixpexg 7932	. . . . . . 7 |- ( A. x e. B ( ( F ` x ) J ( K ` x ) ) e. _V -> X_ x e. B ( ( F ` x ) J ( K ` x ) ) e. _V )
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . 6 |- X_ x e. B ( ( F ` x ) J ( K ` x ) ) e. _V
75	74	rabex 4813	. . . . 5 |- { a e. X_ x e. B ( ( F ` x ) J ( K ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( a ` x ) ) } e. _V
76	75	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> { a e. X_ x e. B ( ( F ` x ) J ( K ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( a ` x ) ) } e. _V )
77	7, 66, 68, 70, 76	ovmpt2d 6788	. . 3 |- ( ph -> ( <. F , G >. N <. K , L >. ) = { a e. X_ x e. B ( ( F ` x ) J ( K ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( a ` x ) ) } )
78	77	eleq2d 2687	. 2 |- ( ph -> ( A e. ( <. F , G >. N <. K , L >. ) <-> A e. { a e. X_ x e. B ( ( F ` x ) J ( K ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( a ` x ) ) } ) )
79		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( a ` y ) = ( A ` y ) )
80	79	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( ( a ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( A ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) )
81		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( a ` x ) = ( A ` x ) )
82	81	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( a ` x ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( A ` x ) ) )
83	80, 82	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( a = A -> ( ( ( a ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( a ` x ) ) <-> ( ( A ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( A ` x ) ) ) )
84	83	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( a = A -> ( A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( a ` x ) ) <-> A. h e. ( x H y ) ( ( A ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( A ` x ) ) ) )
85	84	2ralbidv 2989	. . 3 |- ( a = A -> ( A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( a ` x ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( A ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( A ` x ) ) ) )
86	85	elrab 3363	. 2 |- ( A e. { a e. X_ x e. B ( ( F ` x ) J ( K ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( a ` x ) ) } <-> ( A e. X_ x e. B ( ( F ` x ) J ( K ` x ) ) /\ A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( A ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( A ` x ) ) ) )
87	78, 86	syl6bb 276	1 |- ( ph -> ( A e. ( <. F , G >. N <. K , L >. ) <-> ( A e. X_ x e. B ( ( F ` x ) J ( K ` x ) ) /\ A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( A ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` h ) ) = ( ( ( x L y ) ` h ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( A ` x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   [_csb 3533   <.cop 4183   class class class wbr 4653   Rel wrel 5119   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   X_cixp 7908   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Func cfunc 16514   Nat cnat 16601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-ixp 7909  df-func 16518  df-nat 16603

This theorem is referenced by:  isnat2  16608  natixp  16612  nati  16615