Theorem natfval 16606

Description: Value of the function giving natural transformations between two categories. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
natfval.1	|- N = ( C Nat D )
natfval.b	|- B = ( Base ` C )
natfval.h	|- H = ( Hom ` C )
natfval.j	|- J = ( Hom ` D )
natfval.o	|- .x. = (comp ` D )

Assertion

Ref	Expression
natfval	|- N = ( f e. ( C Func D ) , g e. ( C Func D ) |-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } )

Distinct variable groups:   f, a, g, h, r, s, x, y   B, a, f, g, r, s, x, y   C, a, f, g, h, r, s, x, y   J, a, f, g, r, s   H, a, f, g, h, r, s   .x. , a, f, g, r, s   D, a, f, g, h, r, s, x, y

Allowed substitution hints:   B( h)   .x. ( x, y, h)   H( x, y)   J( x, y, h)   N( x, y, f, g, h, s, r, a)

Proof of Theorem natfval

Dummy variables t u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natfval.1	. 2 |- N = ( C Nat D )
2		oveq12 6659	. . . . 5 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> ( t Func u ) = ( C Func D ) )
3		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> t = C )
4	3	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> ( Base ` t ) = ( Base ` C ) )
5		natfval.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` C )
6	4, 5	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> ( Base ` t ) = B )
7	6	ixpeq1d 7920	. . . . . . . . 9 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> X_ x e. ( Base ` t ) ( ( r ` x ) ( Hom ` u ) ( s ` x ) ) = X_ x e. B ( ( r ` x ) ( Hom ` u ) ( s ` x ) ) )
8		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> u = D )
9	8	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> ( Hom ` u ) = ( Hom ` D ) )
10		natfval.j	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( Hom ` D )
11	9, 10	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> ( Hom ` u ) = J )
12	11	oveqd 6667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> ( ( r ` x ) ( Hom ` u ) ( s ` x ) ) = ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) )
13	12	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . 9 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> X_ x e. B ( ( r ` x ) ( Hom ` u ) ( s ` x ) ) = X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) )
14	7, 13	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> X_ x e. ( Base ` t ) ( ( r ` x ) ( Hom ` u ) ( s ` x ) ) = X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) )
15	3	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> ( Hom ` t ) = ( Hom ` C ) )
16		natfval.h	. . . . . . . . . . . . 13 |- H = ( Hom ` C )
17	15, 16	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> ( Hom ` t ) = H )
18	17	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> ( x ( Hom ` t ) y ) = ( x H y ) )
19	8	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> (comp ` u ) = (comp ` D ) )
20		natfval.o	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .x. = (comp ` D )
21	19, 20	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> (comp ` u ) = .x. )
22	21	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) = ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) )
23	22	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) )
24	21	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) = ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) )
25	24	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) )
26	23, 25	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> ( ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) <-> ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) ) )
27	18, 26	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> ( A. h e. ( x ( Hom ` t ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) <-> A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) ) )
28	6, 27	raleqbidv 3152	. . . . . . . . 9 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> ( A. y e. ( Base ` t ) A. h e. ( x ( Hom ` t ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) <-> A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) ) )
29	6, 28	raleqbidv 3152	. . . . . . . 8 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> ( A. x e. ( Base ` t ) A. y e. ( Base ` t ) A. h e. ( x ( Hom ` t ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) ) )
30	14, 29	rabeqbidv 3195	. . . . . . 7 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> { a e. X_ x e. ( Base ` t ) ( ( r ` x ) ( Hom ` u ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` t ) A. y e. ( Base ` t ) A. h e. ( x ( Hom ` t ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } = { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } )
31	30	csbeq2dv 3992	. . . . . 6 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. ( Base ` t ) ( ( r ` x ) ( Hom ` u ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` t ) A. y e. ( Base ` t ) A. h e. ( x ( Hom ` t ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } = [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } )
32	31	csbeq2dv 3992	. . . . 5 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. ( Base ` t ) ( ( r ` x ) ( Hom ` u ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` t ) A. y e. ( Base ` t ) A. h e. ( x ( Hom ` t ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } = [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } )
33	2, 2, 32	mpt2eq123dv 6717	. . . 4 |- ( ( t = C /\ u = D ) -> ( f e. ( t Func u ) , g e. ( t Func u ) |-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. ( Base ` t ) ( ( r ` x ) ( Hom ` u ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` t ) A. y e. ( Base ` t ) A. h e. ( x ( Hom ` t ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } ) = ( f e. ( C Func D ) , g e. ( C Func D ) |-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } ) )
34		df-nat 16603	. . . 4 |- Nat = ( t e. Cat , u e. Cat |-> ( f e. ( t Func u ) , g e. ( t Func u ) |-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. ( Base ` t ) ( ( r ` x ) ( Hom ` u ) ( s ` x ) ) | A. x e. ( Base ` t ) A. y e. ( Base ` t ) A. h e. ( x ( Hom ` t ) y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. (comp ` u ) ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } ) )
35		ovex 6678	. . . . 5 |- ( C Func D ) e. _V
36	35, 35	mpt2ex 7247	. . . 4 |- ( f e. ( C Func D ) , g e. ( C Func D ) |-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } ) e. _V
37	33, 34, 36	ovmpt2a 6791	. . 3 |- ( ( C e. Cat /\ D e. Cat ) -> ( C Nat D ) = ( f e. ( C Func D ) , g e. ( C Func D ) |-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } ) )
38	34	mpt2ndm0 6875	. . . 4 |- ( -. ( C e. Cat /\ D e. Cat ) -> ( C Nat D ) = (/) )
39		funcrcl 16523	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( C Func D ) -> ( C e. Cat /\ D e. Cat ) )
40	39	con3i 150	. . . . . . 7 |- ( -. ( C e. Cat /\ D e. Cat ) -> -. f e. ( C Func D ) )
41	40	eq0rdv 3979	. . . . . 6 |- ( -. ( C e. Cat /\ D e. Cat ) -> ( C Func D ) = (/) )
42		mpt2eq12 6715	. . . . . 6 |- ( ( ( C Func D ) = (/) /\ ( C Func D ) = (/) ) -> ( f e. ( C Func D ) , g e. ( C Func D ) |-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } ) = ( f e. (/) , g e. (/) |-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } ) )
43	41, 41, 42	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( -. ( C e. Cat /\ D e. Cat ) -> ( f e. ( C Func D ) , g e. ( C Func D ) |-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } ) = ( f e. (/) , g e. (/) |-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } ) )
44		mpt20 6725	. . . . 5 |- ( f e. (/) , g e. (/) |-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } ) = (/)
45	43, 44	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( -. ( C e. Cat /\ D e. Cat ) -> ( f e. ( C Func D ) , g e. ( C Func D ) |-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } ) = (/) )
46	38, 45	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( -. ( C e. Cat /\ D e. Cat ) -> ( C Nat D ) = ( f e. ( C Func D ) , g e. ( C Func D ) |-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } ) )
47	37, 46	pm2.61i 176	. 2 |- ( C Nat D ) = ( f e. ( C Func D ) , g e. ( C Func D ) |-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } )
48	1, 47	eqtri 2644	1 |- N = ( f e. ( C Func D ) , g e. ( C Func D ) |-> [_ ( 1st ` f ) / r ]_ [_ ( 1st ` g ) / s ]_ { a e. X_ x e. B ( ( r ` x ) J ( s ` x ) ) | A. x e. B A. y e. B A. h e. ( x H y ) ( ( a ` y ) ( <. ( r ` x ) , ( r ` y ) >. .x. ( s ` y ) ) ( ( x ( 2nd ` f ) y ) ` h ) ) = ( ( ( x ( 2nd ` g ) y ) ` h ) ( <. ( r ` x ) , ( s ` x ) >. .x. ( s ` y ) ) ( a ` x ) ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   [_csb 3533   (/)c0 3915   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   X_cixp 7908   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Func cfunc 16514   Nat cnat 16601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-ixp 7909  df-func 16518  df-nat 16603

This theorem is referenced by:  isnat  16607  natffn  16609  natrcl  16610  wunnat  16616  natpropd  16636