Theorem nati 16615

Description: Naturality property of a natural transformation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
natrcl.1	|- N = ( C Nat D )
natixp.2	|- ( ph -> A e. ( <. F , G >. N <. K , L >. ) )
natixp.b	|- B = ( Base ` C )
nati.h	|- H = ( Hom ` C )
nati.o	|- .x. = (comp ` D )
nati.x	|- ( ph -> X e. B )
nati.y	|- ( ph -> Y e. B )
nati.r	|- ( ph -> R e. ( X H Y ) )

Assertion

Ref	Expression
nati	|- ( ph -> ( ( A ` Y ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. .x. ( K ` Y ) ) ( ( X G Y ) ` R ) ) = ( ( ( X L Y ) ` R ) ( <. ( F ` X ) , ( K ` X ) >. .x. ( K ` Y ) ) ( A ` X ) ) )

Proof of Theorem nati

Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natixp.2	. . . 4 |- ( ph -> A e. ( <. F , G >. N <. K , L >. ) )
2		natrcl.1	. . . . 5 |- N = ( C Nat D )
3		natixp.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` C )
4		nati.h	. . . . 5 |- H = ( Hom ` C )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Hom ` D ) = ( Hom ` D )
6		nati.o	. . . . 5 |- .x. = (comp ` D )
7	2	natrcl 16610	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( <. F , G >. N <. K , L >. ) -> ( <. F , G >. e. ( C Func D ) /\ <. K , L >. e. ( C Func D ) ) )
8	1, 7	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( <. F , G >. e. ( C Func D ) /\ <. K , L >. e. ( C Func D ) ) )
9	8	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> <. F , G >. e. ( C Func D ) )
10		df-br 4654	. . . . . 6 |- ( F ( C Func D ) G <-> <. F , G >. e. ( C Func D ) )
11	9, 10	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> F ( C Func D ) G )
12	8	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> <. K , L >. e. ( C Func D ) )
13		df-br 4654	. . . . . 6 |- ( K ( C Func D ) L <-> <. K , L >. e. ( C Func D ) )
14	12, 13	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> K ( C Func D ) L )
15	2, 3, 4, 5, 6, 11, 14	isnat 16607	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. ( <. F , G >. N <. K , L >. ) <-> ( A e. X_ x e. B ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( K ` x ) ) /\ A. x e. B A. y e. B A. f e. ( x H y ) ( ( A ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) = ( ( ( x L y ) ` f ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( A ` x ) ) ) ) )
16	1, 15	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( A e. X_ x e. B ( ( F ` x ) ( Hom ` D ) ( K ` x ) ) /\ A. x e. B A. y e. B A. f e. ( x H y ) ( ( A ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) = ( ( ( x L y ) ` f ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( A ` x ) ) ) )
17	16	simprd 479	. 2 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B A. f e. ( x H y ) ( ( A ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) = ( ( ( x L y ) ` f ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( A ` x ) ) )
18		nati.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
19		nati.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. B )
20	19	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = X ) -> Y e. B )
21		nati.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. ( X H Y ) )
22	21	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) -> R e. ( X H Y ) )
23		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) -> x = X )
24		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) -> y = Y )
25	23, 24	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) -> ( x H y ) = ( X H Y ) )
26	22, 25	eleqtrrd 2704	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) -> R e. ( x H y ) )
27		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> x = X )
28	27	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> ( F ` x ) = ( F ` X ) )
29		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> y = Y )
30	29	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> ( F ` y ) = ( F ` Y ) )
31	28, 30	opeq12d 4410	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. = <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. )
32	29	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> ( K ` y ) = ( K ` Y ) )
33	31, 32	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) = ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. .x. ( K ` Y ) ) )
34	29	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> ( A ` y ) = ( A ` Y ) )
35	27, 29	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> ( x G y ) = ( X G Y ) )
36		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> f = R )
37	35, 36	fveq12d 6197	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> ( ( x G y ) ` f ) = ( ( X G Y ) ` R ) )
38	33, 34, 37	oveq123d 6671	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> ( ( A ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) = ( ( A ` Y ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. .x. ( K ` Y ) ) ( ( X G Y ) ` R ) ) )
39	27	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> ( K ` x ) = ( K ` X ) )
40	28, 39	opeq12d 4410	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. = <. ( F ` X ) , ( K ` X ) >. )
41	40, 32	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) = ( <. ( F ` X ) , ( K ` X ) >. .x. ( K ` Y ) ) )
42	27, 29	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> ( x L y ) = ( X L Y ) )
43	42, 36	fveq12d 6197	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> ( ( x L y ) ` f ) = ( ( X L Y ) ` R ) )
44	27	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> ( A ` x ) = ( A ` X ) )
45	41, 43, 44	oveq123d 6671	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> ( ( ( x L y ) ` f ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( A ` x ) ) = ( ( ( X L Y ) ` R ) ( <. ( F ` X ) , ( K ` X ) >. .x. ( K ` Y ) ) ( A ` X ) ) )
46	38, 45	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) /\ f = R ) -> ( ( ( A ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) = ( ( ( x L y ) ` f ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( A ` x ) ) <-> ( ( A ` Y ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. .x. ( K ` Y ) ) ( ( X G Y ) ` R ) ) = ( ( ( X L Y ) ` R ) ( <. ( F ` X ) , ( K ` X ) >. .x. ( K ` Y ) ) ( A ` X ) ) ) )
47	26, 46	rspcdv 3312	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x = X ) /\ y = Y ) -> ( A. f e. ( x H y ) ( ( A ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) = ( ( ( x L y ) ` f ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( A ` x ) ) -> ( ( A ` Y ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. .x. ( K ` Y ) ) ( ( X G Y ) ` R ) ) = ( ( ( X L Y ) ` R ) ( <. ( F ` X ) , ( K ` X ) >. .x. ( K ` Y ) ) ( A ` X ) ) ) )
48	20, 47	rspcimdv 3310	. . 3 |- ( ( ph /\ x = X ) -> ( A. y e. B A. f e. ( x H y ) ( ( A ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) = ( ( ( x L y ) ` f ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( A ` x ) ) -> ( ( A ` Y ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. .x. ( K ` Y ) ) ( ( X G Y ) ` R ) ) = ( ( ( X L Y ) ` R ) ( <. ( F ` X ) , ( K ` X ) >. .x. ( K ` Y ) ) ( A ` X ) ) ) )
49	18, 48	rspcimdv 3310	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B A. f e. ( x H y ) ( ( A ` y ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. .x. ( K ` y ) ) ( ( x G y ) ` f ) ) = ( ( ( x L y ) ` f ) ( <. ( F ` x ) , ( K ` x ) >. .x. ( K ` y ) ) ( A ` x ) ) -> ( ( A ` Y ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. .x. ( K ` Y ) ) ( ( X G Y ) ` R ) ) = ( ( ( X L Y ) ` R ) ( <. ( F ` X ) , ( K ` X ) >. .x. ( K ` Y ) ) ( A ` X ) ) ) )
50	17, 49	mpd 15	1 |- ( ph -> ( ( A ` Y ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. .x. ( K ` Y ) ) ( ( X G Y ) ` R ) ) = ( ( ( X L Y ) ` R ) ( <. ( F ` X ) , ( K ` X ) >. .x. ( K ` Y ) ) ( A ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Func cfunc 16514   Nat cnat 16601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-ixp 7909  df-func 16518  df-nat 16603

This theorem is referenced by:  fuccocl  16624  invfuc  16634  evlfcllem  16861  yonedalem3b  16919  yonedainv  16921