Theorem isnsg 17623

Description: Property of being a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnsg.1	|- X = ( Base ` G )
isnsg.2	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isnsg	|- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, .+ , y   x, S, y   x, X, y

Proof of Theorem isnsg

Dummy variables g b p s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nsg 17592	. . . 4 |- NrmSGrp = ( g e. Grp |-> { s e. (SubGrp ` g ) | [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) } )
2	1	dmmptss 5631	. . 3 |- dom NrmSGrp C_ Grp
3		elfvdm 6220	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> G e. dom NrmSGrp )
4	2, 3	sseldi 3601	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> G e. Grp )
5		subgrcl 17599	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
6	5	adantr 481	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) -> G e. Grp )
7		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( g = G -> (SubGrp ` g ) = (SubGrp ` G ) )
8		fvexd 6203	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( Base ` g ) e. _V )
9		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( Base ` g ) = ( Base ` G ) )
10		isnsg.1	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` G )
11	9, 10	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( Base ` g ) = X )
12		fvexd 6203	. . . . . . . 8 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( +g ` g ) e. _V )
13		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> g = G )
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( +g ` g ) = ( +g ` G ) )
15		isnsg.2	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` G )
16	14, 15	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( +g ` g ) = .+ )
17		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> b = X )
18		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> p = .+ )
19	18	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( x p y ) = ( x .+ y ) )
20	19	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( ( x p y ) e. s <-> ( x .+ y ) e. s ) )
21	18	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( y p x ) = ( y .+ x ) )
22	21	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( ( y p x ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) )
23	20, 22	bibi12d 335	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
24	17, 23	raleqbidv 3152	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
25	17, 24	raleqbidv 3152	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g = G /\ b = X ) /\ p = .+ ) -> ( A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
26	12, 16, 25	sbcied2 3473	. . . . . . 7 |- ( ( g = G /\ b = X ) -> ( [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
27	8, 11, 26	sbcied2 3473	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) ) )
28	7, 27	rabeqbidv 3195	. . . . 5 |- ( g = G -> { s e. (SubGrp ` g ) | [. ( Base ` g ) / b ]. [. ( +g ` g ) / p ]. A. x e. b A. y e. b ( ( x p y ) e. s <-> ( y p x ) e. s ) } = { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } )
29		fvex 6201	. . . . . 6 |- (SubGrp ` G ) e. _V
30	29	rabex 4813	. . . . 5 |- { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } e. _V
31	28, 1, 30	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( G e. Grp -> (NrmSGrp ` G ) = { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } )
32	31	eleq2d 2687	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> S e. { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } ) )
33		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( x .+ y ) e. s <-> ( x .+ y ) e. S ) )
34		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( s = S -> ( ( y .+ x ) e. s <-> ( y .+ x ) e. S ) )
35	33, 34	bibi12d 335	. . . . 5 |- ( s = S -> ( ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) <-> ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
36	35	2ralbidv 2989	. . . 4 |- ( s = S -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
37	36	elrab 3363	. . 3 |- ( S e. { s e. (SubGrp ` G ) | A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) } <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )
38	32, 37	syl6bb 276	. 2 |- ( G e. Grp -> ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) ) )
39	4, 6, 38	pm5.21nii 368	1 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588  NrmSGrpcnsg 17589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-subg 17591  df-nsg 17592

This theorem is referenced by:  isnsg2  17624  nsgbi  17625  nsgsubg  17626  isnsg4  17637  nmznsg  17638  ablnsg  18250  rzgrp  24300