Theorem cycsubg 17622

Description: The cyclic group generated by A is the smallest subgroup containing A. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubg.x	|- X = ( Base ` G )
cycsubg.t	|- .x. = (.g ` G )
cycsubg.f	|- F = ( x e. ZZ |-> ( x .x. A ) )

Assertion

Ref	Expression
cycsubg	|- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ran F = |^| { s e. (SubGrp ` G ) | A e. s } )

Distinct variable groups:   x, s, A   G, s, x   x, .x.   x, X   F, s

Allowed substitution hints:   .x. ( s)   F( x)   X( s)

Proof of Theorem cycsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintab 4494	. . . . 5 |- ( ran F C_ |^| { s | ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) } <-> A. s ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) -> ran F C_ s ) )
2		cycsubg.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
3		cycsubg.t	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
4		cycsubg.f	. . . . . 6 |- F = ( x e. ZZ |-> ( x .x. A ) )
5	2, 3, 4	cycsubgss 17621	. . . . 5 |- ( ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) -> ran F C_ s )
6	1, 5	mpgbir 1726	. . . 4 |- ran F C_ |^| { s | ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) }
7		df-rab 2921	. . . . 5 |- { s e. (SubGrp ` G ) | A e. s } = { s | ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) }
8	7	inteqi 4479	. . . 4 |- |^| { s e. (SubGrp ` G ) | A e. s } = |^| { s | ( s e. (SubGrp ` G ) /\ A e. s ) }
9	6, 8	sseqtr4i 3638	. . 3 |- ran F C_ |^| { s e. (SubGrp ` G ) | A e. s }
10	9	a1i 11	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ran F C_ |^| { s e. (SubGrp ` G ) | A e. s } )
11	2, 3, 4	cycsubgcl 17620	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ran F e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ran F ) )
12		eleq2 2690	. . . . 5 |- ( s = ran F -> ( A e. s <-> A e. ran F ) )
13	12	elrab 3363	. . . 4 |- ( ran F e. { s e. (SubGrp ` G ) | A e. s } <-> ( ran F e. (SubGrp ` G ) /\ A e. ran F ) )
14	11, 13	sylibr 224	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ran F e. { s e. (SubGrp ` G ) | A e. s } )
15		intss1 4492	. . 3 |- ( ran F e. { s e. (SubGrp ` G ) | A e. s } -> |^| { s e. (SubGrp ` G ) | A e. s } C_ ran F )
16	14, 15	syl 17	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> |^| { s e. (SubGrp ` G ) | A e. s } C_ ran F )
17	10, 16	eqssd 3620	1 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ran F = |^| { s e. (SubGrp ` G ) | A e. s } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   {crab 2916   C_ wss 3574   |^|cint 4475   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ZZcz 11377   Basecbs 15857   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540  SubGrpcsubg 17588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591

This theorem is referenced by:  cycsubg2  17631