Theorem subgrcl 17599

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	issubg 17594	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ ( Base ` G ) /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp1bi 1076	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-subg 17591

This theorem is referenced by:  subg0  17600  subginv  17601  subgmulgcl  17607  subgsubm  17616  subsubg  17617  subgint  17618  isnsg  17623  nsgconj  17627  isnsg3  17628  ssnmz  17636  nmznsg  17638  eqger  17644  eqgid  17646  eqgen  17647  eqgcpbl  17648  qusgrp  17649  quseccl  17650  qusadd  17651  qus0  17652  qusinv  17653  qussub  17654  resghm2  17677  resghm2b  17678  conjsubg  17692  conjsubgen  17693  conjnmz  17694  conjnmzb  17695  qusghm  17697  subgga  17733  gastacos  17743  orbstafun  17744  cntrsubgnsg  17773  oppgsubg  17793  isslw  18023  sylow2blem1  18035  sylow2blem2  18036  sylow2blem3  18037  slwhash  18039  lsmval  18063  lsmelval  18064  lsmelvali  18065  lsmelvalm  18066  lsmsubg  18069  lsmless1  18074  lsmless2  18075  lsmless12  18076  lsmass  18083  lsm01  18084  lsm02  18085  subglsm  18086  lsmmod  18088  lsmcntz  18092  lsmcntzr  18093  lsmdisj2  18095  subgdisj1  18104  pj1f  18110  pj1id  18112  pj1lid  18114  pj1rid  18115  pj1ghm  18116  subgdmdprd  18433  subgdprd  18434  dprdsn  18435  pgpfaclem2  18481  cldsubg  21914