Theorem isocnv3 6582

Description: Complementation law for isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isocnv3.1	|- C = ( ( A X. A ) \ R )
isocnv3.2	|- D = ( ( B X. B ) \ S )

Assertion

Ref	Expression
isocnv3	|- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom C , D ( A , B ) )

Proof of Theorem isocnv3

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brxp 5147	. . . . . . . 8 |- ( x ( A X. A ) y <-> ( x e. A /\ y e. A ) )
2		isocnv3.1	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( ( A X. A ) \ R )
3	2	breqi 4659	. . . . . . . . . 10 |- ( x C y <-> x ( ( A X. A ) \ R ) y )
4		brdif 4705	. . . . . . . . . 10 |- ( x ( ( A X. A ) \ R ) y <-> ( x ( A X. A ) y /\ -. x R y ) )
5	3, 4	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( x C y <-> ( x ( A X. A ) y /\ -. x R y ) )
6	5	baib 944	. . . . . . . 8 |- ( x ( A X. A ) y -> ( x C y <-> -. x R y ) )
7	1, 6	sylbir 225	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x C y <-> -. x R y ) )
8	7	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x C y <-> -. x R y ) )
9		f1of 6137	. . . . . . . 8 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
10		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A --> B /\ x e. A ) -> ( H ` x ) e. B )
11		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A --> B /\ y e. A ) -> ( H ` y ) e. B )
12	10, 11	anim12dan 882	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : A --> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` x ) e. B /\ ( H ` y ) e. B ) )
13		brxp 5147	. . . . . . . . 9 |- ( ( H ` x ) ( B X. B ) ( H ` y ) <-> ( ( H ` x ) e. B /\ ( H ` y ) e. B ) )
14	12, 13	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A --> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( H ` x ) ( B X. B ) ( H ` y ) )
15	9, 14	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( H ` x ) ( B X. B ) ( H ` y ) )
16		isocnv3.2	. . . . . . . . . 10 |- D = ( ( B X. B ) \ S )
17	16	breqi 4659	. . . . . . . . 9 |- ( ( H ` x ) D ( H ` y ) <-> ( H ` x ) ( ( B X. B ) \ S ) ( H ` y ) )
18		brdif 4705	. . . . . . . . 9 |- ( ( H ` x ) ( ( B X. B ) \ S ) ( H ` y ) <-> ( ( H ` x ) ( B X. B ) ( H ` y ) /\ -. ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
19	17, 18	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( ( H ` x ) D ( H ` y ) <-> ( ( H ` x ) ( B X. B ) ( H ` y ) /\ -. ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
20	19	baib 944	. . . . . . 7 |- ( ( H ` x ) ( B X. B ) ( H ` y ) -> ( ( H ` x ) D ( H ` y ) <-> -. ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
21	15, 20	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` x ) D ( H ` y ) <-> -. ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
22	8, 21	bibi12d 335	. . . . 5 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x C y <-> ( H ` x ) D ( H ` y ) ) <-> ( -. x R y <-> -. ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
23		notbi 309	. . . . 5 |- ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( -. x R y <-> -. ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
24	22, 23	syl6rbbr 279	. . . 4 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( x C y <-> ( H ` x ) D ( H ` y ) ) ) )
25	24	2ralbidva 2988	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x C y <-> ( H ` x ) D ( H ` y ) ) ) )
26	25	pm5.32i 669	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x C y <-> ( H ` x ) D ( H ` y ) ) ) )
27		df-isom 5897	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
28		df-isom 5897	. 2 |- ( H Isom C , D ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x C y <-> ( H ` x ) D ( H ` y ) ) ) )
29	26, 27, 28	3bitr4i 292	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> H Isom C , D ( A , B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897

This theorem is referenced by:  leiso  13243  gtiso  29478