Theorem isomin 6587

Description: Isomorphisms preserve minimal elements. Note that ( `' R " { D } ) is Takeuti and Zaring's idiom for the initial segment { x | x R D }. Proposition 6.31(1) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 19-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isomin	|- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( ( C i^i ( `' R " { D } ) ) = (/) <-> ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) = (/) ) )

Proof of Theorem isomin

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neq0 3930	. . . 4 |- ( -. ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) = (/) <-> E. y y e. ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) )
2		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C C_ A -> ( x e. C -> x e. A ) )
3		isof1o 6573	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
4		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H Fn A )
5		fnbrfvb 6236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( H Fn A /\ x e. A ) -> ( ( H ` x ) = y <-> x H y ) )
6	5	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( H Fn A -> ( x e. A -> ( ( H ` x ) = y <-> x H y ) ) )
7	3, 4, 6	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( x e. A -> ( ( H ` x ) = y <-> x H y ) ) )
8	2, 7	syl9r 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( C C_ A -> ( x e. C -> ( ( H ` x ) = y <-> x H y ) ) ) )
9	8	imp31 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. C ) -> ( ( H ` x ) = y <-> x H y ) )
10	9	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> ( E. x e. C ( H ` x ) = y <-> E. x e. C x H y ) )
11		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
12	11	elima 5471	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( H " C ) <-> E. x e. C x H y )
13	10, 12	syl6rbbr 279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> ( y e. ( H " C ) <-> E. x e. C ( H ` x ) = y ) )
14		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( H ` D ) e. _V
15	11	eliniseg 5494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H ` D ) e. _V -> ( y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) <-> y S ( H ` D ) ) )
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> ( y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) <-> y S ( H ` D ) ) )
17	13, 16	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> ( ( y e. ( H " C ) /\ y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> ( E. x e. C ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
18		elin 3796	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> ( y e. ( H " C ) /\ y e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) )
19		r19.41v 3089	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. C ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) <-> ( E. x e. C ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) )
20	17, 18, 19	3bitr4g 303	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> ( y e. ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> E. x e. C ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
21	20	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( y e. ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> E. x e. C ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) ) )
22		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H ` x ) = y -> ( ( H ` x ) S ( H ` D ) <-> y S ( H ` D ) ) )
23	22	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) -> ( H ` x ) S ( H ` D ) )
24		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. _V
25	24	eliniseg 5494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D e. A -> ( x e. ( `' R " { D } ) <-> x R D ) )
26	25	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( x e. ( `' R " { D } ) <-> x R D ) )
27		isorel 6576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( x R D <-> ( H ` x ) S ( H ` D ) ) )
28	26, 27	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( x e. ( `' R " { D } ) <-> ( H ` x ) S ( H ` D ) ) )
29	23, 28	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) -> x e. ( `' R " { D } ) ) )
30	29	exp32 631	. . . . . . . . . . 11 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( x e. A -> ( D e. A -> ( ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) -> x e. ( `' R " { D } ) ) ) ) )
31	2, 30	syl9r 78	. . . . . . . . . 10 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( C C_ A -> ( x e. C -> ( D e. A -> ( ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) -> x e. ( `' R " { D } ) ) ) ) ) )
32	31	com34 91	. . . . . . . . 9 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( C C_ A -> ( D e. A -> ( x e. C -> ( ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) -> x e. ( `' R " { D } ) ) ) ) ) )
33	32	imp32 449	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( x e. C -> ( ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) -> x e. ( `' R " { D } ) ) ) )
34	33	reximdvai 3015	. . . . . . 7 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( E. x e. C ( ( H ` x ) = y /\ y S ( H ` D ) ) -> E. x e. C x e. ( `' R " { D } ) ) )
35	21, 34	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( y e. ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) -> E. x e. C x e. ( `' R " { D } ) ) )
36		elin 3796	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( C i^i ( `' R " { D } ) ) <-> ( x e. C /\ x e. ( `' R " { D } ) ) )
37	36	exbii 1774	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. ( C i^i ( `' R " { D } ) ) <-> E. x ( x e. C /\ x e. ( `' R " { D } ) ) )
38		neq0 3930	. . . . . . 7 |- ( -. ( C i^i ( `' R " { D } ) ) = (/) <-> E. x x e. ( C i^i ( `' R " { D } ) ) )
39		df-rex 2918	. . . . . . 7 |- ( E. x e. C x e. ( `' R " { D } ) <-> E. x ( x e. C /\ x e. ( `' R " { D } ) ) )
40	37, 38, 39	3bitr4i 292	. . . . . 6 |- ( -. ( C i^i ( `' R " { D } ) ) = (/) <-> E. x e. C x e. ( `' R " { D } ) )
41	35, 40	syl6ibr 242	. . . . 5 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( y e. ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) -> -. ( C i^i ( `' R " { D } ) ) = (/) ) )
42	41	exlimdv 1861	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( E. y y e. ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) -> -. ( C i^i ( `' R " { D } ) ) = (/) ) )
43	1, 42	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( -. ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) = (/) -> -. ( C i^i ( `' R " { D } ) ) = (/) ) )
44	43	con4d 114	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( ( C i^i ( `' R " { D } ) ) = (/) -> ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) = (/) ) )
45	3, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H Fn A )
46		fnfvima 6496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Fn A /\ C C_ A /\ x e. C ) -> ( H ` x ) e. ( H " C ) )
47	46	3expia 1267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Fn A /\ C C_ A ) -> ( x e. C -> ( H ` x ) e. ( H " C ) ) )
48	47	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Fn A /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( x e. C -> ( H ` x ) e. ( H " C ) ) )
49	45, 48	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( x e. C -> ( H ` x ) e. ( H " C ) ) )
50	49	adantrd 484	. . . . . . 7 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( ( x e. C /\ x e. ( `' R " { D } ) ) -> ( H ` x ) e. ( H " C ) ) )
51	27	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( x R D -> ( H ` x ) S ( H ` D ) ) )
52		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( H ` x ) e. _V
53	52	eliniseg 5494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( H ` D ) e. _V -> ( ( H ` x ) e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) <-> ( H ` x ) S ( H ` D ) ) )
54	14, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H ` x ) e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) <-> ( H ` x ) S ( H ` D ) )
55	51, 54	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( x R D -> ( H ` x ) e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) )
56	26, 55	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( x e. A /\ D e. A ) ) -> ( x e. ( `' R " { D } ) -> ( H ` x ) e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) )
57	56	exp32 631	. . . . . . . . . . 11 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( x e. A -> ( D e. A -> ( x e. ( `' R " { D } ) -> ( H ` x ) e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) ) ) )
58	2, 57	syl9r 78	. . . . . . . . . 10 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( C C_ A -> ( x e. C -> ( D e. A -> ( x e. ( `' R " { D } ) -> ( H ` x ) e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) ) ) ) )
59	58	com34 91	. . . . . . . . 9 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( C C_ A -> ( D e. A -> ( x e. C -> ( x e. ( `' R " { D } ) -> ( H ` x ) e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) ) ) ) )
60	59	imp32 449	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( x e. C -> ( x e. ( `' R " { D } ) -> ( H ` x ) e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) ) )
61	60	impd 447	. . . . . . 7 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( ( x e. C /\ x e. ( `' R " { D } ) ) -> ( H ` x ) e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) )
62	50, 61	jcad 555	. . . . . 6 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( ( x e. C /\ x e. ( `' R " { D } ) ) -> ( ( H ` x ) e. ( H " C ) /\ ( H ` x ) e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) ) )
63		elin 3796	. . . . . 6 |- ( ( H ` x ) e. ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) <-> ( ( H ` x ) e. ( H " C ) /\ ( H ` x ) e. ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) )
64	62, 36, 63	3imtr4g 285	. . . . 5 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( x e. ( C i^i ( `' R " { D } ) ) -> ( H ` x ) e. ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) ) )
65		n0i 3920	. . . . 5 |- ( ( H ` x ) e. ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) -> -. ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) = (/) )
66	64, 65	syl6 35	. . . 4 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( x e. ( C i^i ( `' R " { D } ) ) -> -. ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) = (/) ) )
67	66	exlimdv 1861	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( E. x x e. ( C i^i ( `' R " { D } ) ) -> -. ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) = (/) ) )
68	38, 67	syl5bi 232	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( -. ( C i^i ( `' R " { D } ) ) = (/) -> -. ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) = (/) ) )
69	44, 68	impcon4bid 217	1 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( C C_ A /\ D e. A ) ) -> ( ( C i^i ( `' R " { D } ) ) = (/) <-> ( ( H " C ) i^i ( `' S " { ( H ` D ) } ) ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897

This theorem is referenced by:  isofrlem  6590