Theorem isores3 6585

Description: Induced isomorphism on a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isores3	|- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ K C_ A /\ X = ( H " K ) ) -> ( H |` K ) Isom R , S ( K , X ) )

Proof of Theorem isores3

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1of1 6136	. . . . . . 7 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A -1-1-> B )
2		f1ores 6151	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ K C_ A ) -> ( H |` K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) )
3	2	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( K C_ A -> ( H : A -1-1-> B -> ( H |` K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) ) )
4	1, 3	syl5 34	. . . . . 6 |- ( K C_ A -> ( H : A -1-1-onto-> B -> ( H |` K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) ) )
5		ssralv 3666	. . . . . . 7 |- ( K C_ A -> ( A. a e. A A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. a e. K A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
6		ssralv 3666	. . . . . . . . . 10 |- ( K C_ A -> ( A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. b e. K ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( K C_ A /\ a e. K ) -> ( A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. b e. K ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
8		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. K -> ( ( H |` K ) ` a ) = ( H ` a ) )
9		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. K -> ( ( H |` K ) ` b ) = ( H ` b ) )
10	8, 9	breqan12d 4669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. K /\ b e. K ) -> ( ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
11	10	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K C_ A /\ a e. K ) /\ b e. K ) -> ( ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
12	11	bibi2d 332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K C_ A /\ a e. K ) /\ b e. K ) -> ( ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) <-> ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
13	12	biimprd 238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K C_ A /\ a e. K ) /\ b e. K ) -> ( ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) )
14	13	ralimdva 2962	. . . . . . . . 9 |- ( ( K C_ A /\ a e. K ) -> ( A. b e. K ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. b e. K ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) )
15	7, 14	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( ( K C_ A /\ a e. K ) -> ( A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. b e. K ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) )
16	15	ralimdva 2962	. . . . . . 7 |- ( K C_ A -> ( A. a e. K A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. a e. K A. b e. K ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) )
17	5, 16	syld 47	. . . . . 6 |- ( K C_ A -> ( A. a e. A A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) -> A. a e. K A. b e. K ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) )
18	4, 17	anim12d 586	. . . . 5 |- ( K C_ A -> ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. a e. A A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) -> ( ( H |` K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) /\ A. a e. K A. b e. K ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) ) )
19		df-isom 5897	. . . . 5 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. a e. A A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
20		df-isom 5897	. . . . 5 |- ( ( H |` K ) Isom R , S ( K , ( H " K ) ) <-> ( ( H |` K ) : K -1-1-onto-> ( H " K ) /\ A. a e. K A. b e. K ( a R b <-> ( ( H |` K ) ` a ) S ( ( H |` K ) ` b ) ) ) )
21	18, 19, 20	3imtr4g 285	. . . 4 |- ( K C_ A -> ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( H |` K ) Isom R , S ( K , ( H " K ) ) ) )
22	21	impcom 446	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ K C_ A ) -> ( H |` K ) Isom R , S ( K , ( H " K ) ) )
23		isoeq5 6571	. . 3 |- ( X = ( H " K ) -> ( ( H |` K ) Isom R , S ( K , X ) <-> ( H |` K ) Isom R , S ( K , ( H " K ) ) ) )
24	22, 23	syl5ibrcom 237	. 2 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ K C_ A ) -> ( X = ( H " K ) -> ( H |` K ) Isom R , S ( K , X ) ) )
25	24	3impia 1261	1 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ K C_ A /\ X = ( H " K ) ) -> ( H |` K ) Isom R , S ( K , X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |` cres 5116   "cima 5117   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897

This theorem is referenced by:  cantnfp1lem3  8577  fpwwe2lem9  9460  efcvx  24203