Theorem isposd 16955

Description: Properties that determine a poset (implicit structure version). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isposd.k	|- ( ph -> K e. _V )
isposd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
isposd.l	|- ( ph -> .<_ = ( le ` K ) )
isposd.1	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> x .<_ x )
isposd.2	|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) )
isposd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) )

Assertion

Ref	Expression
isposd	|- ( ph -> K e. Poset )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, K, y, z   ph, x, y, z

Allowed substitution hints:   .<_ ( x, y, z)

Proof of Theorem isposd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isposd.k	. . 3 |- ( ph -> K e. _V )
2		isposd.1	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x .<_ x )
3	2	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x .<_ x )
4	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> x .<_ x )
5		isposd.2	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) )
6	5	3expb 1266	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) )
7	6	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) )
8		isposd.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) )
9	8	3exp2 1285	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. B -> ( y e. B -> ( z e. B -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) ) )
10	9	imp42 620	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) )
11	4, 7, 10	3jca 1242	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ z e. B ) -> ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) )
12	11	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) )
13	12	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) )
14		isposd.b	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
15		isposd.l	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> .<_ = ( le ` K ) )
16	15	breqd 4664	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x .<_ x <-> x ( le ` K ) x ) )
17	15	breqd 4664	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x .<_ y <-> x ( le ` K ) y ) )
18	15	breqd 4664	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y .<_ x <-> y ( le ` K ) x ) )
19	17, 18	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) <-> ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) ) )
20	19	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) <-> ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> x = y ) ) )
21	15	breqd 4664	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y .<_ z <-> y ( le ` K ) z ) )
22	17, 21	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) <-> ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) ) )
23	15	breqd 4664	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x .<_ z <-> x ( le ` K ) z ) )
24	22, 23	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) <-> ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) -> x ( le ` K ) z ) ) )
25	16, 20, 24	3anbi123d 1399	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) <-> ( x ( le ` K ) x /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> x = y ) /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) -> x ( le ` K ) z ) ) ) )
26	14, 25	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) <-> A. z e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) x /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> x = y ) /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) -> x ( le ` K ) z ) ) ) )
27	14, 26	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) <-> A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) x /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> x = y ) /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) -> x ( le ` K ) z ) ) ) )
28	14, 27	raleqbidv 3152	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) <-> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) x /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> x = y ) /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) -> x ( le ` K ) z ) ) ) )
29	28	anbi2d 740	. . 3 |- ( ph -> ( ( K e. _V /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) <-> ( K e. _V /\ A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) x /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> x = y ) /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) -> x ( le ` K ) z ) ) ) ) )
30	1, 13, 29	mpbi2and 956	. 2 |- ( ph -> ( K e. _V /\ A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) x /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> x = y ) /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) -> x ( le ` K ) z ) ) ) )
31		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
32		eqid 2622	. . 3 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
33	31, 32	ispos 16947	. 2 |- ( K e. Poset <-> ( K e. _V /\ A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) x /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> x = y ) /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) -> x ( le ` K ) z ) ) ) )
34	30, 33	sylibr 224	1 |- ( ph -> K e. Poset )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-poset 16946

This theorem is referenced by:  pospo  16973  odupos  17135  ipopos  17160  zntoslem  19905