Theorem pospo 16973

Description: Write a poset structure in terms of the proper-class poset predicate (strict less than version). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pospo.b	|- B = ( Base ` K )
pospo.l	|- .<_ = ( le ` K )
pospo.s	|- .< = ( lt ` K )

Assertion

Ref	Expression
pospo	|- ( K e. V -> ( K e. Poset <-> ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) )

Proof of Theorem pospo

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pospo.s	. . . . 5 |- .< = ( lt ` K )
2	1	pltirr 16963	. . . 4 |- ( ( K e. Poset /\ x e. B ) -> -. x .< x )
3		pospo.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
4	3, 1	plttr 16970	. . . 4 |- ( ( K e. Poset /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .< y /\ y .< z ) -> x .< z ) )
5	2, 4	ispod 5043	. . 3 |- ( K e. Poset -> .< Po B )
6		relres 5426	. . . . 5 |- Rel ( _I |` B )
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( K e. Poset -> Rel ( _I |` B ) )
8		opabresid 5455	. . . . . . 7 |- { <. x , y >. | ( x e. B /\ y = x ) } = ( _I |` B )
9	8	eleq2i 2693	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. B /\ y = x ) } <-> <. x , y >. e. ( _I |` B ) )
10		opabid 4982	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ( x e. B /\ y = x ) } <-> ( x e. B /\ y = x ) )
11	9, 10	bitr3i 266	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( _I |` B ) <-> ( x e. B /\ y = x ) )
12		pospo.l	. . . . . . . 8 |- .<_ = ( le ` K )
13	3, 12	posref 16951	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Poset /\ x e. B ) -> x .<_ x )
14		df-br 4654	. . . . . . . 8 |- ( x .<_ y <-> <. x , y >. e. .<_ )
15		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( x .<_ y <-> x .<_ x ) )
16	14, 15	syl5bbr 274	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( <. x , y >. e. .<_ <-> x .<_ x ) )
17	13, 16	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( K e. Poset /\ x e. B ) -> ( y = x -> <. x , y >. e. .<_ ) )
18	17	expimpd 629	. . . . 5 |- ( K e. Poset -> ( ( x e. B /\ y = x ) -> <. x , y >. e. .<_ ) )
19	11, 18	syl5bi 232	. . . 4 |- ( K e. Poset -> ( <. x , y >. e. ( _I |` B ) -> <. x , y >. e. .<_ ) )
20	7, 19	relssdv 5212	. . 3 |- ( K e. Poset -> ( _I |` B ) C_ .<_ )
21	5, 20	jca 554	. 2 |- ( K e. Poset -> ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) )
22		elex 3212	. . . . 5 |- ( K e. V -> K e. _V )
23	22	adantr 481	. . . 4 |- ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) -> K e. _V )
24	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) -> B = ( Base ` K ) )
25	12	a1i 11	. . . 4 |- ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) -> .<_ = ( le ` K ) )
26		equid 1939	. . . . . 6 |- x = x
27		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ x e. B ) -> x e. B )
28		resieq 5407	. . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ x e. B ) -> ( x ( _I |` B ) x <-> x = x ) )
29	27, 27, 28	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ x e. B ) -> ( x ( _I |` B ) x <-> x = x ) )
30	26, 29	mpbiri 248	. . . . 5 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ x e. B ) -> x ( _I |` B ) x )
31		simplrr 801	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ x e. B ) -> ( _I |` B ) C_ .<_ )
32	31	ssbrd 4696	. . . . 5 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ x e. B ) -> ( x ( _I |` B ) x -> x .<_ x ) )
33	30, 32	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ x e. B ) -> x .<_ x )
34	3, 12, 1	pleval2i 16964	. . . . . 6 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x .<_ y -> ( x .< y \/ x = y ) ) )
35	34	3adant1 1079	. . . . 5 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .<_ y -> ( x .< y \/ x = y ) ) )
36	3, 12, 1	pleval2i 16964	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x e. B ) -> ( y .<_ x -> ( y .< x \/ y = x ) ) )
37	36	ancoms 469	. . . . . 6 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( y .<_ x -> ( y .< x \/ y = x ) ) )
38	37	3adant1 1079	. . . . 5 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( y .<_ x -> ( y .< x \/ y = x ) ) )
39		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) -> .< Po B )
40		po2nr 5048	. . . . . . . . 9 |- ( ( .< Po B /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> -. ( x .< y /\ y .< x ) )
41	40	3impb 1260	. . . . . . . 8 |- ( ( .< Po B /\ x e. B /\ y e. B ) -> -. ( x .< y /\ y .< x ) )
42	39, 41	syl3an1 1359	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> -. ( x .< y /\ y .< x ) )
43	42	pm2.21d 118	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x .< y /\ y .< x ) -> x = y ) )
44		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ y .< x ) -> x = y )
45	44	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x = y /\ y .< x ) -> x = y ) )
46		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( x .< y /\ y = x ) -> y = x )
47	46	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( x .< y /\ y = x ) -> x = y )
48	47	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x .< y /\ y = x ) -> x = y ) )
49		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ y = x ) -> x = y )
50	49	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x = y /\ y = x ) -> x = y ) )
51	43, 45, 48, 50	ccased 988	. . . . 5 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( ( x .< y \/ x = y ) /\ ( y .< x \/ y = x ) ) -> x = y ) )
52	35, 38, 51	syl2and 500	. . . 4 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ x ) -> x = y ) )
53		simpr1 1067	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> x e. B )
54		simpr2 1068	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> y e. B )
55	53, 54, 34	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .<_ y -> ( x .< y \/ x = y ) ) )
56		simpr3 1069	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> z e. B )
57	3, 12, 1	pleval2i 16964	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( y .<_ z -> ( y .< z \/ y = z ) ) )
58	54, 56, 57	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y .<_ z -> ( y .< z \/ y = z ) ) )
59		potr 5047	. . . . . . . 8 |- ( ( .< Po B /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .< y /\ y .< z ) -> x .< z ) )
60	39, 59	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .< y /\ y .< z ) -> x .< z ) )
61		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> K e. V )
62	12, 1	pltle 16961	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. V /\ x e. B /\ z e. B ) -> ( x .< z -> x .<_ z ) )
63	61, 53, 56, 62	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .< z -> x .<_ z ) )
64	60, 63	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .< y /\ y .< z ) -> x .<_ z ) )
65		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x .< z <-> y .< z ) )
66	65	biimpar 502	. . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ y .< z ) -> x .< z )
67	66, 63	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x = y /\ y .< z ) -> x .<_ z ) )
68		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( x .< y <-> x .< z ) )
69	68	biimpac 503	. . . . . . 7 |- ( ( x .< y /\ y = z ) -> x .< z )
70	69, 63	syl5 34	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .< y /\ y = z ) -> x .<_ z ) )
71	53, 33	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> x .<_ x )
72		eqtr 2641	. . . . . . . 8 |- ( ( x = y /\ y = z ) -> x = z )
73	72	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ y = z ) -> ( x .<_ x <-> x .<_ z ) )
74	71, 73	syl5ibcom 235	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x = y /\ y = z ) -> x .<_ z ) )
75	64, 67, 70, 74	ccased 988	. . . . 5 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( ( x .< y \/ x = y ) /\ ( y .< z \/ y = z ) ) -> x .<_ z ) )
76	55, 58, 75	syl2and 500	. . . 4 |- ( ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) )
77	23, 24, 25, 33, 52, 76	isposd 16955	. . 3 |- ( ( K e. V /\ ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) -> K e. Poset )
78	77	ex 450	. 2 |- ( K e. V -> ( ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) -> K e. Poset ) )
79	21, 78	impbid2 216	1 |- ( K e. V -> ( K e. Poset <-> ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   _I cid 5023   Po wpo 5033   |` cres 5116   Rel wrel 5119   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   ltcplt 16941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958

This theorem is referenced by:  tosso  17036