Theorem ispridl 33833

Description: The predicate "is a prime ideal". (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
pridlval.1	|- G = ( 1st ` R )
pridlval.2	|- H = ( 2nd ` R )
pridlval.3	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
ispridl	|- ( R e. RingOps -> ( P e. ( PrIdl ` R ) <-> ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X /\ A. a e. ( Idl ` R ) A. b e. ( Idl ` R ) ( A. x e. a A. y e. b ( x H y ) e. P -> ( a C_ P \/ b C_ P ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, R, y, a, b   x, P, y, a, b

Allowed substitution hints:   G( x, y, a, b)   H( x, y, a, b)   X( x, y, a, b)

Proof of Theorem ispridl

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pridlval.1	. . . 4 |- G = ( 1st ` R )
2		pridlval.2	. . . 4 |- H = ( 2nd ` R )
3		pridlval.3	. . . 4 |- X = ran G
4	1, 2, 3	pridlval 33832	. . 3 |- ( R e. RingOps -> ( PrIdl ` R ) = { i e. ( Idl ` R ) | ( i =/= X /\ A. a e. ( Idl ` R ) A. b e. ( Idl ` R ) ( A. x e. a A. y e. b ( x H y ) e. i -> ( a C_ i \/ b C_ i ) ) ) } )
5	4	eleq2d 2687	. 2 |- ( R e. RingOps -> ( P e. ( PrIdl ` R ) <-> P e. { i e. ( Idl ` R ) | ( i =/= X /\ A. a e. ( Idl ` R ) A. b e. ( Idl ` R ) ( A. x e. a A. y e. b ( x H y ) e. i -> ( a C_ i \/ b C_ i ) ) ) } ) )
6		neeq1 2856	. . . . 5 |- ( i = P -> ( i =/= X <-> P =/= X ) )
7		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( i = P -> ( ( x H y ) e. i <-> ( x H y ) e. P ) )
8	7	2ralbidv 2989	. . . . . . 7 |- ( i = P -> ( A. x e. a A. y e. b ( x H y ) e. i <-> A. x e. a A. y e. b ( x H y ) e. P ) )
9		sseq2 3627	. . . . . . . 8 |- ( i = P -> ( a C_ i <-> a C_ P ) )
10		sseq2 3627	. . . . . . . 8 |- ( i = P -> ( b C_ i <-> b C_ P ) )
11	9, 10	orbi12d 746	. . . . . . 7 |- ( i = P -> ( ( a C_ i \/ b C_ i ) <-> ( a C_ P \/ b C_ P ) ) )
12	8, 11	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( i = P -> ( ( A. x e. a A. y e. b ( x H y ) e. i -> ( a C_ i \/ b C_ i ) ) <-> ( A. x e. a A. y e. b ( x H y ) e. P -> ( a C_ P \/ b C_ P ) ) ) )
13	12	2ralbidv 2989	. . . . 5 |- ( i = P -> ( A. a e. ( Idl ` R ) A. b e. ( Idl ` R ) ( A. x e. a A. y e. b ( x H y ) e. i -> ( a C_ i \/ b C_ i ) ) <-> A. a e. ( Idl ` R ) A. b e. ( Idl ` R ) ( A. x e. a A. y e. b ( x H y ) e. P -> ( a C_ P \/ b C_ P ) ) ) )
14	6, 13	anbi12d 747	. . . 4 |- ( i = P -> ( ( i =/= X /\ A. a e. ( Idl ` R ) A. b e. ( Idl ` R ) ( A. x e. a A. y e. b ( x H y ) e. i -> ( a C_ i \/ b C_ i ) ) ) <-> ( P =/= X /\ A. a e. ( Idl ` R ) A. b e. ( Idl ` R ) ( A. x e. a A. y e. b ( x H y ) e. P -> ( a C_ P \/ b C_ P ) ) ) ) )
15	14	elrab 3363	. . 3 |- ( P e. { i e. ( Idl ` R ) | ( i =/= X /\ A. a e. ( Idl ` R ) A. b e. ( Idl ` R ) ( A. x e. a A. y e. b ( x H y ) e. i -> ( a C_ i \/ b C_ i ) ) ) } <-> ( P e. ( Idl ` R ) /\ ( P =/= X /\ A. a e. ( Idl ` R ) A. b e. ( Idl ` R ) ( A. x e. a A. y e. b ( x H y ) e. P -> ( a C_ P \/ b C_ P ) ) ) ) )
16		3anass 1042	. . 3 |- ( ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X /\ A. a e. ( Idl ` R ) A. b e. ( Idl ` R ) ( A. x e. a A. y e. b ( x H y ) e. P -> ( a C_ P \/ b C_ P ) ) ) <-> ( P e. ( Idl ` R ) /\ ( P =/= X /\ A. a e. ( Idl ` R ) A. b e. ( Idl ` R ) ( A. x e. a A. y e. b ( x H y ) e. P -> ( a C_ P \/ b C_ P ) ) ) ) )
17	15, 16	bitr4i 267	. 2 |- ( P e. { i e. ( Idl ` R ) | ( i =/= X /\ A. a e. ( Idl ` R ) A. b e. ( Idl ` R ) ( A. x e. a A. y e. b ( x H y ) e. i -> ( a C_ i \/ b C_ i ) ) ) } <-> ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X /\ A. a e. ( Idl ` R ) A. b e. ( Idl ` R ) ( A. x e. a A. y e. b ( x H y ) e. P -> ( a C_ P \/ b C_ P ) ) ) )
18	5, 17	syl6bb 276	1 |- ( R e. RingOps -> ( P e. ( PrIdl ` R ) <-> ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X /\ A. a e. ( Idl ` R ) A. b e. ( Idl ` R ) ( A. x e. a A. y e. b ( x H y ) e. P -> ( a C_ P \/ b C_ P ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   RingOpscrngo 33693   Idlcidl 33806   PrIdlcpridl 33807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-pridl 33810

This theorem is referenced by:  pridlidl  33834  pridlnr  33835  pridl  33836  ispridl2  33837  smprngopr  33851  ispridlc  33869