Theorem ispridlc 33869

Description: The predicate "is a prime ideal". Alternate definition for commutative rings. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
ispridlc.1	|- G = ( 1st ` R )
ispridlc.2	|- H = ( 2nd ` R )
ispridlc.3	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
ispridlc	|- ( R e. CRingOps -> ( P e. ( PrIdl ` R ) <-> ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X /\ A. a e. X A. b e. X ( ( a H b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   R, a, b   P, a, b   X, a, b   H, a, b

Allowed substitution hints:   G( a, b)

Proof of Theorem ispridlc

Dummy variables x y r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngorngo 33799	. . . 4 |- ( R e. CRingOps -> R e. RingOps )
2		ispridlc.1	. . . . 5 |- G = ( 1st ` R )
3		ispridlc.2	. . . . 5 |- H = ( 2nd ` R )
4		ispridlc.3	. . . . 5 |- X = ran G
5	2, 3, 4	ispridl 33833	. . . 4 |- ( R e. RingOps -> ( P e. ( PrIdl ` R ) <-> ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X /\ A. r e. ( Idl ` R ) A. s e. ( Idl ` R ) ( A. x e. r A. y e. s ( x H y ) e. P -> ( r C_ P \/ s C_ P ) ) ) ) )
6	1, 5	syl 17	. . 3 |- ( R e. CRingOps -> ( P e. ( PrIdl ` R ) <-> ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X /\ A. r e. ( Idl ` R ) A. s e. ( Idl ` R ) ( A. x e. r A. y e. s ( x H y ) e. P -> ( r C_ P \/ s C_ P ) ) ) ) )
7		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. X -> { a } C_ X )
8	2, 4	igenidl 33862	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RingOps /\ { a } C_ X ) -> ( R IdlGen { a } ) e. ( Idl ` R ) )
9	1, 7, 8	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. CRingOps /\ a e. X ) -> ( R IdlGen { a } ) e. ( Idl ` R ) )
10	9	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. CRingOps /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( R IdlGen { a } ) e. ( Idl ` R ) )
11		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. X -> { b } C_ X )
12	2, 4	igenidl 33862	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RingOps /\ { b } C_ X ) -> ( R IdlGen { b } ) e. ( Idl ` R ) )
13	1, 11, 12	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. CRingOps /\ b e. X ) -> ( R IdlGen { b } ) e. ( Idl ` R ) )
14	13	adantrl 752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. CRingOps /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( R IdlGen { b } ) e. ( Idl ` R ) )
15		raleq 3138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = ( R IdlGen { a } ) -> ( A. x e. r A. y e. s ( x H y ) e. P <-> A. x e. ( R IdlGen { a } ) A. y e. s ( x H y ) e. P ) )
16		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = ( R IdlGen { a } ) -> ( r C_ P <-> ( R IdlGen { a } ) C_ P ) )
17	16	orbi1d 739	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = ( R IdlGen { a } ) -> ( ( r C_ P \/ s C_ P ) <-> ( ( R IdlGen { a } ) C_ P \/ s C_ P ) ) )
18	15, 17	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( R IdlGen { a } ) -> ( ( A. x e. r A. y e. s ( x H y ) e. P -> ( r C_ P \/ s C_ P ) ) <-> ( A. x e. ( R IdlGen { a } ) A. y e. s ( x H y ) e. P -> ( ( R IdlGen { a } ) C_ P \/ s C_ P ) ) ) )
19		raleq 3138	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = ( R IdlGen { b } ) -> ( A. y e. s ( x H y ) e. P <-> A. y e. ( R IdlGen { b } ) ( x H y ) e. P ) )
20	19	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( R IdlGen { b } ) -> ( A. x e. ( R IdlGen { a } ) A. y e. s ( x H y ) e. P <-> A. x e. ( R IdlGen { a } ) A. y e. ( R IdlGen { b } ) ( x H y ) e. P ) )
21		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = ( R IdlGen { b } ) -> ( s C_ P <-> ( R IdlGen { b } ) C_ P ) )
22	21	orbi2d 738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( R IdlGen { b } ) -> ( ( ( R IdlGen { a } ) C_ P \/ s C_ P ) <-> ( ( R IdlGen { a } ) C_ P \/ ( R IdlGen { b } ) C_ P ) ) )
23	20, 22	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( R IdlGen { b } ) -> ( ( A. x e. ( R IdlGen { a } ) A. y e. s ( x H y ) e. P -> ( ( R IdlGen { a } ) C_ P \/ s C_ P ) ) <-> ( A. x e. ( R IdlGen { a } ) A. y e. ( R IdlGen { b } ) ( x H y ) e. P -> ( ( R IdlGen { a } ) C_ P \/ ( R IdlGen { b } ) C_ P ) ) ) )
24	18, 23	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R IdlGen { a } ) e. ( Idl ` R ) /\ ( R IdlGen { b } ) e. ( Idl ` R ) ) -> ( A. r e. ( Idl ` R ) A. s e. ( Idl ` R ) ( A. x e. r A. y e. s ( x H y ) e. P -> ( r C_ P \/ s C_ P ) ) -> ( A. x e. ( R IdlGen { a } ) A. y e. ( R IdlGen { b } ) ( x H y ) e. P -> ( ( R IdlGen { a } ) C_ P \/ ( R IdlGen { b } ) C_ P ) ) ) )
25	10, 14, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. CRingOps /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( A. r e. ( Idl ` R ) A. s e. ( Idl ` R ) ( A. x e. r A. y e. s ( x H y ) e. P -> ( r C_ P \/ s C_ P ) ) -> ( A. x e. ( R IdlGen { a } ) A. y e. ( R IdlGen { b } ) ( x H y ) e. P -> ( ( R IdlGen { a } ) C_ P \/ ( R IdlGen { b } ) C_ P ) ) ) )
26	25	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( A. r e. ( Idl ` R ) A. s e. ( Idl ` R ) ( A. x e. r A. y e. s ( x H y ) e. P -> ( r C_ P \/ s C_ P ) ) -> ( A. x e. ( R IdlGen { a } ) A. y e. ( R IdlGen { b } ) ( x H y ) e. P -> ( ( R IdlGen { a } ) C_ P \/ ( R IdlGen { b } ) C_ P ) ) ) )
27	2, 3, 4	prnc 33866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. CRingOps /\ a e. X ) -> ( R IdlGen { a } ) = { x e. X | E. r e. X x = ( r H a ) } )
28		df-rab 2921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { x e. X | E. r e. X x = ( r H a ) } = { x | ( x e. X /\ E. r e. X x = ( r H a ) ) }
29	27, 28	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. CRingOps /\ a e. X ) -> ( R IdlGen { a } ) = { x | ( x e. X /\ E. r e. X x = ( r H a ) ) } )
30	29	abeq2d 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. CRingOps /\ a e. X ) -> ( x e. ( R IdlGen { a } ) <-> ( x e. X /\ E. r e. X x = ( r H a ) ) ) )
31	30	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. CRingOps /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( x e. ( R IdlGen { a } ) <-> ( x e. X /\ E. r e. X x = ( r H a ) ) ) )
32	2, 3, 4	prnc 33866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. CRingOps /\ b e. X ) -> ( R IdlGen { b } ) = { y e. X | E. s e. X y = ( s H b ) } )
33		df-rab 2921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { y e. X | E. s e. X y = ( s H b ) } = { y | ( y e. X /\ E. s e. X y = ( s H b ) ) }
34	32, 33	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. CRingOps /\ b e. X ) -> ( R IdlGen { b } ) = { y | ( y e. X /\ E. s e. X y = ( s H b ) ) } )
35	34	abeq2d 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. CRingOps /\ b e. X ) -> ( y e. ( R IdlGen { b } ) <-> ( y e. X /\ E. s e. X y = ( s H b ) ) ) )
36	35	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. CRingOps /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( y e. ( R IdlGen { b } ) <-> ( y e. X /\ E. s e. X y = ( s H b ) ) ) )
37	31, 36	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. CRingOps /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( x e. ( R IdlGen { a } ) /\ y e. ( R IdlGen { b } ) ) <-> ( ( x e. X /\ E. r e. X x = ( r H a ) ) /\ ( y e. X /\ E. s e. X y = ( s H b ) ) ) ) )
38	37	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( x e. ( R IdlGen { a } ) /\ y e. ( R IdlGen { b } ) ) <-> ( ( x e. X /\ E. r e. X x = ( r H a ) ) /\ ( y e. X /\ E. s e. X y = ( s H b ) ) ) ) )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( a H b ) e. P ) -> ( ( x e. ( R IdlGen { a } ) /\ y e. ( R IdlGen { b } ) ) <-> ( ( x e. X /\ E. r e. X x = ( r H a ) ) /\ ( y e. X /\ E. s e. X y = ( s H b ) ) ) ) )
40		reeanv 3107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. r e. X E. s e. X ( x = ( r H a ) /\ y = ( s H b ) ) <-> ( E. r e. X x = ( r H a ) /\ E. s e. X y = ( s H b ) ) )
41	40	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ E. r e. X E. s e. X ( x = ( r H a ) /\ y = ( s H b ) ) ) <-> ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( E. r e. X x = ( r H a ) /\ E. s e. X y = ( s H b ) ) ) )
42		an4 865	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ ( E. r e. X x = ( r H a ) /\ E. s e. X y = ( s H b ) ) ) <-> ( ( x e. X /\ E. r e. X x = ( r H a ) ) /\ ( y e. X /\ E. s e. X y = ( s H b ) ) ) )
43	41, 42	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ E. r e. X E. s e. X ( x = ( r H a ) /\ y = ( s H b ) ) ) <-> ( ( x e. X /\ E. r e. X x = ( r H a ) ) /\ ( y e. X /\ E. s e. X y = ( s H b ) ) ) )
44	2, 3, 4	crngm4 33802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R e. CRingOps /\ ( r e. X /\ s e. X ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( r H s ) H ( a H b ) ) = ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
45	44	3com23 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. CRingOps /\ ( a e. X /\ b e. X ) /\ ( r e. X /\ s e. X ) ) -> ( ( r H s ) H ( a H b ) ) = ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
46	45	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. CRingOps /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( r e. X /\ s e. X ) ) -> ( ( r H s ) H ( a H b ) ) = ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
47	46	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( r e. X /\ s e. X ) ) -> ( ( r H s ) H ( a H b ) ) = ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
48	47	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( a H b ) e. P ) /\ ( r e. X /\ s e. X ) ) -> ( ( r H s ) H ( a H b ) ) = ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
49	2, 3, 4	rngocl 33700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R e. RingOps /\ r e. X /\ s e. X ) -> ( r H s ) e. X )
50	1, 49	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R e. CRingOps /\ r e. X /\ s e. X ) -> ( r H s ) e. X )
51	50	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R e. CRingOps /\ ( r e. X /\ s e. X ) ) -> ( r H s ) e. X )
52	51	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( r e. X /\ s e. X ) ) -> ( r H s ) e. X )
53	52	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a H b ) e. P ) /\ ( r e. X /\ s e. X ) ) -> ( r H s ) e. X )
54	2, 3, 4	idllmulcl 33819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R e. RingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( ( a H b ) e. P /\ ( r H s ) e. X ) ) -> ( ( r H s ) H ( a H b ) ) e. P )
55	1, 54	sylanl1 682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( ( a H b ) e. P /\ ( r H s ) e. X ) ) -> ( ( r H s ) H ( a H b ) ) e. P )
56	55	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a H b ) e. P ) /\ ( r H s ) e. X ) -> ( ( r H s ) H ( a H b ) ) e. P )
57	53, 56	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a H b ) e. P ) /\ ( r e. X /\ s e. X ) ) -> ( ( r H s ) H ( a H b ) ) e. P )
58	57	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( a H b ) e. P ) /\ ( r e. X /\ s e. X ) ) -> ( ( r H s ) H ( a H b ) ) e. P )
59	48, 58	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( a H b ) e. P ) /\ ( r e. X /\ s e. X ) ) -> ( ( r H a ) H ( s H b ) ) e. P )
60		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = ( r H a ) /\ y = ( s H b ) ) -> ( x H y ) = ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
61	60	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = ( r H a ) /\ y = ( s H b ) ) -> ( ( x H y ) e. P <-> ( ( r H a ) H ( s H b ) ) e. P ) )
62	59, 61	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( a H b ) e. P ) /\ ( r e. X /\ s e. X ) ) -> ( ( x = ( r H a ) /\ y = ( s H b ) ) -> ( x H y ) e. P ) )
63	62	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( a H b ) e. P ) -> ( E. r e. X E. s e. X ( x = ( r H a ) /\ y = ( s H b ) ) -> ( x H y ) e. P ) )
64	63	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( a H b ) e. P ) -> ( ( ( x e. X /\ y e. X ) /\ E. r e. X E. s e. X ( x = ( r H a ) /\ y = ( s H b ) ) ) -> ( x H y ) e. P ) )
65	43, 64	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( a H b ) e. P ) -> ( ( ( x e. X /\ E. r e. X x = ( r H a ) ) /\ ( y e. X /\ E. s e. X y = ( s H b ) ) ) -> ( x H y ) e. P ) )
66	39, 65	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( a H b ) e. P ) -> ( ( x e. ( R IdlGen { a } ) /\ y e. ( R IdlGen { b } ) ) -> ( x H y ) e. P ) )
67	66	ralrimivv 2970	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) /\ ( a H b ) e. P ) -> A. x e. ( R IdlGen { a } ) A. y e. ( R IdlGen { b } ) ( x H y ) e. P )
68	67	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a H b ) e. P -> A. x e. ( R IdlGen { a } ) A. y e. ( R IdlGen { b } ) ( x H y ) e. P ) )
69	2, 4	igenss 33861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. RingOps /\ { a } C_ X ) -> { a } C_ ( R IdlGen { a } ) )
70	1, 7, 69	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. CRingOps /\ a e. X ) -> { a } C_ ( R IdlGen { a } ) )
71		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- a e. _V
72	71	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. ( R IdlGen { a } ) <-> { a } C_ ( R IdlGen { a } ) )
73	70, 72	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. CRingOps /\ a e. X ) -> a e. ( R IdlGen { a } ) )
74	73	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. CRingOps /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> a e. ( R IdlGen { a } ) )
75		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R IdlGen { a } ) C_ P -> ( a e. ( R IdlGen { a } ) -> a e. P ) )
76	74, 75	syl5com 31	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. CRingOps /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( R IdlGen { a } ) C_ P -> a e. P ) )
77	2, 4	igenss 33861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. RingOps /\ { b } C_ X ) -> { b } C_ ( R IdlGen { b } ) )
78	1, 11, 77	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. CRingOps /\ b e. X ) -> { b } C_ ( R IdlGen { b } ) )
79		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- b e. _V
80	79	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. ( R IdlGen { b } ) <-> { b } C_ ( R IdlGen { b } ) )
81	78, 80	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. CRingOps /\ b e. X ) -> b e. ( R IdlGen { b } ) )
82	81	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. CRingOps /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> b e. ( R IdlGen { b } ) )
83		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R IdlGen { b } ) C_ P -> ( b e. ( R IdlGen { b } ) -> b e. P ) )
84	82, 83	syl5com 31	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. CRingOps /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( R IdlGen { b } ) C_ P -> b e. P ) )
85	76, 84	orim12d 883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. CRingOps /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( ( R IdlGen { a } ) C_ P \/ ( R IdlGen { b } ) C_ P ) -> ( a e. P \/ b e. P ) ) )
86	85	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( ( R IdlGen { a } ) C_ P \/ ( R IdlGen { b } ) C_ P ) -> ( a e. P \/ b e. P ) ) )
87	68, 86	imim12d 81	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( A. x e. ( R IdlGen { a } ) A. y e. ( R IdlGen { b } ) ( x H y ) e. P -> ( ( R IdlGen { a } ) C_ P \/ ( R IdlGen { b } ) C_ P ) ) -> ( ( a H b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) )
88	26, 87	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( A. r e. ( Idl ` R ) A. s e. ( Idl ` R ) ( A. x e. r A. y e. s ( x H y ) e. P -> ( r C_ P \/ s C_ P ) ) -> ( ( a H b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) )
89	88	ralrimdvva 2974	. . . . . . 7 |- ( ( R e. CRingOps /\ P e. ( Idl ` R ) ) -> ( A. r e. ( Idl ` R ) A. s e. ( Idl ` R ) ( A. x e. r A. y e. s ( x H y ) e. P -> ( r C_ P \/ s C_ P ) ) -> A. a e. X A. b e. X ( ( a H b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) )
90	89	ex 450	. . . . . 6 |- ( R e. CRingOps -> ( P e. ( Idl ` R ) -> ( A. r e. ( Idl ` R ) A. s e. ( Idl ` R ) ( A. x e. r A. y e. s ( x H y ) e. P -> ( r C_ P \/ s C_ P ) ) -> A. a e. X A. b e. X ( ( a H b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) ) )
91	90	adantrd 484	. . . . 5 |- ( R e. CRingOps -> ( ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X ) -> ( A. r e. ( Idl ` R ) A. s e. ( Idl ` R ) ( A. x e. r A. y e. s ( x H y ) e. P -> ( r C_ P \/ s C_ P ) ) -> A. a e. X A. b e. X ( ( a H b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) ) )
92	91	imdistand 728	. . . 4 |- ( R e. CRingOps -> ( ( ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X ) /\ A. r e. ( Idl ` R ) A. s e. ( Idl ` R ) ( A. x e. r A. y e. s ( x H y ) e. P -> ( r C_ P \/ s C_ P ) ) ) -> ( ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X ) /\ A. a e. X A. b e. X ( ( a H b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) ) )
93		df-3an 1039	. . . 4 |- ( ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X /\ A. r e. ( Idl ` R ) A. s e. ( Idl ` R ) ( A. x e. r A. y e. s ( x H y ) e. P -> ( r C_ P \/ s C_ P ) ) ) <-> ( ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X ) /\ A. r e. ( Idl ` R ) A. s e. ( Idl ` R ) ( A. x e. r A. y e. s ( x H y ) e. P -> ( r C_ P \/ s C_ P ) ) ) )
94		df-3an 1039	. . . 4 |- ( ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X /\ A. a e. X A. b e. X ( ( a H b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) <-> ( ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X ) /\ A. a e. X A. b e. X ( ( a H b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) )
95	92, 93, 94	3imtr4g 285	. . 3 |- ( R e. CRingOps -> ( ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X /\ A. r e. ( Idl ` R ) A. s e. ( Idl ` R ) ( A. x e. r A. y e. s ( x H y ) e. P -> ( r C_ P \/ s C_ P ) ) ) -> ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X /\ A. a e. X A. b e. X ( ( a H b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) ) )
96	6, 95	sylbid 230	. 2 |- ( R e. CRingOps -> ( P e. ( PrIdl ` R ) -> ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X /\ A. a e. X A. b e. X ( ( a H b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) ) )
97	2, 3, 4	ispridl2 33837	. . . 4 |- ( ( R e. RingOps /\ ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X /\ A. a e. X A. b e. X ( ( a H b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) ) -> P e. ( PrIdl ` R ) )
98	97	ex 450	. . 3 |- ( R e. RingOps -> ( ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X /\ A. a e. X A. b e. X ( ( a H b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) -> P e. ( PrIdl ` R ) ) )
99	1, 98	syl 17	. 2 |- ( R e. CRingOps -> ( ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X /\ A. a e. X A. b e. X ( ( a H b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) -> P e. ( PrIdl ` R ) ) )
100	96, 99	impbid 202	1 |- ( R e. CRingOps -> ( P e. ( PrIdl ` R ) <-> ( P e. ( Idl ` R ) /\ P =/= X /\ A. a e. X A. b e. X ( ( a H b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   {csn 4177   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   RingOpscrngo 33693  CRingOpsccring 33792   Idlcidl 33806   PrIdlcpridl 33807   IdlGen cigen 33858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-ass 33642  df-exid 33644  df-mgmOLD 33648  df-sgrOLD 33660  df-mndo 33666  df-rngo 33694  df-com2 33789  df-crngo 33793  df-idl 33809  df-pridl 33810  df-igen 33859

This theorem is referenced by:  pridlc  33870  isdmn3  33873