Theorem isrnmeas 30263

Description: The property of being a measure on an undefined base sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isrnmeas	|- ( M e. U. ran measures -> ( dom M e. U. ran sigAlgebra /\ ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) ) )

Distinct variable group:   x, y, M

Proof of Theorem isrnmeas

Dummy variables m s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-meas 30259	. . . 4 |- measures = ( s e. U. ran sigAlgebra |-> { m | ( m : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( m ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( m ` U. x ) = Σ* y e. x ( m ` y ) ) ) } )
2		vex 3203	. . . . . 6 |- s e. _V
3		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( 0 [,] +oo ) e. _V
4		mapex 7863	. . . . . 6 |- ( ( s e. _V /\ ( 0 [,] +oo ) e. _V ) -> { m | m : s --> ( 0 [,] +oo ) } e. _V )
5	2, 3, 4	mp2an 708	. . . . 5 |- { m | m : s --> ( 0 [,] +oo ) } e. _V
6		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( m : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( m ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( m ` U. x ) = Σ* y e. x ( m ` y ) ) ) -> m : s --> ( 0 [,] +oo ) )
7	6	ss2abi 3674	. . . . 5 |- { m | ( m : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( m ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( m ` U. x ) = Σ* y e. x ( m ` y ) ) ) } C_ { m | m : s --> ( 0 [,] +oo ) }
8	5, 7	ssexi 4803	. . . 4 |- { m | ( m : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( m ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( m ` U. x ) = Σ* y e. x ( m ` y ) ) ) } e. _V
9		feq1 6026	. . . . 5 |- ( m = M -> ( m : s --> ( 0 [,] +oo ) <-> M : s --> ( 0 [,] +oo ) ) )
10		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( m ` (/) ) = ( M ` (/) ) )
11	10	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( m = M -> ( ( m ` (/) ) = 0 <-> ( M ` (/) ) = 0 ) )
12		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( m ` U. x ) = ( M ` U. x ) )
13		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( m ` y ) = ( M ` y ) )
14	13	esumeq2sdv 30101	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> Σ* y e. x ( m ` y ) = Σ* y e. x ( M ` y ) )
15	12, 14	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( ( m ` U. x ) = Σ* y e. x ( m ` y ) <-> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) )
16	15	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( m ` U. x ) = Σ* y e. x ( m ` y ) ) <-> ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) )
17	16	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( m = M -> ( A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( m ` U. x ) = Σ* y e. x ( m ` y ) ) <-> A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) )
18	9, 11, 17	3anbi123d 1399	. . . 4 |- ( m = M -> ( ( m : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( m ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( m ` U. x ) = Σ* y e. x ( m ` y ) ) ) <-> ( M : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) ) )
19	1, 8, 18	abfmpunirn 29452	. . 3 |- ( M e. U. ran measures <-> ( M e. _V /\ E. s e. U. ran sigAlgebra ( M : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) ) )
20	19	simprbi 480	. 2 |- ( M e. U. ran measures -> E. s e. U. ran sigAlgebra ( M : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) )
21		fdm 6051	. . . . . . 7 |- ( M : s --> ( 0 [,] +oo ) -> dom M = s )
22	21	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) -> dom M = s )
23	22	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( s e. U. ran sigAlgebra /\ ( M : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) ) -> dom M = s )
24		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( s e. U. ran sigAlgebra /\ ( M : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) ) -> s e. U. ran sigAlgebra )
25	23, 24	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( s e. U. ran sigAlgebra /\ ( M : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) ) -> dom M e. U. ran sigAlgebra )
26		simp1 1061	. . . . . . 7 |- ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) -> M : s --> ( 0 [,] +oo ) )
27		feq2 6027	. . . . . . . 8 |- ( dom M = s -> ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) <-> M : s --> ( 0 [,] +oo ) ) )
28	27	biimpar 502	. . . . . . 7 |- ( ( dom M = s /\ M : s --> ( 0 [,] +oo ) ) -> M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) )
29	22, 26, 28	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) -> M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) )
30		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
31		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) -> A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) )
32		pweq 4161	. . . . . . . . 9 |- ( dom M = s -> ~P dom M = ~P s )
33	32	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( dom M = s -> ( A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) <-> A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) )
34	33	biimpar 502	. . . . . . 7 |- ( ( dom M = s /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) -> A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) )
35	22, 31, 34	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) -> A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) )
36	29, 30, 35	3jca 1242	. . . . 5 |- ( ( M : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) -> ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) )
37	36	adantl 482	. . . 4 |- ( ( s e. U. ran sigAlgebra /\ ( M : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) ) -> ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) )
38	25, 37	jca 554	. . 3 |- ( ( s e. U. ran sigAlgebra /\ ( M : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) ) -> ( dom M e. U. ran sigAlgebra /\ ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) ) )
39	38	rexlimiva 3028	. 2 |- ( E. s e. U. ran sigAlgebra ( M : s --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P s ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) -> ( dom M e. U. ran sigAlgebra /\ ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) ) )
40	20, 39	syl 17	1 |- ( M e. U. ran measures -> ( dom M e. U. ran sigAlgebra /\ ( M : dom M --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( M ` (/) ) = 0 /\ A. x e. ~P dom M ( ( x ~<_ om /\ Disj y e. x y ) -> ( M ` U. x ) = Σ* y e. x ( M ` y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   0cc0 9936   +oocpnf 10071   [,]cicc 12178  Σ^*cesum 30089  sigAlgebracsiga 30170  measurescmeas 30258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-esum 30090  df-meas 30259

This theorem is referenced by:  dmmeas  30264  measbasedom  30265