Theorem issubmgm 41789

Description: Expand definition of a submagma. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubmgm.b	|- B = ( Base ` M )
issubmgm.p	|- .+ = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
issubmgm	|- ( M e. Mgm -> ( S e. (SubMgm ` M ) <-> ( S C_ B /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, M, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   .+ ( x, y)

Proof of Theorem issubmgm

Dummy variables m t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( Base ` m ) = ( Base ` M ) )
2	1	pweqd 4163	. . . . 5 |- ( m = M -> ~P ( Base ` m ) = ~P ( Base ` M ) )
3		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( m = M -> ( +g ` m ) = ( +g ` M ) )
4	3	oveqd 6667	. . . . . . 7 |- ( m = M -> ( x ( +g ` m ) y ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
5	4	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( m = M -> ( ( x ( +g ` m ) y ) e. t <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) )
6	5	2ralbidv 2989	. . . . 5 |- ( m = M -> ( A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` m ) y ) e. t <-> A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t ) )
7	2, 6	rabeqbidv 3195	. . . 4 |- ( m = M -> { t e. ~P ( Base ` m ) | A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` m ) y ) e. t } = { t e. ~P ( Base ` M ) | A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t } )
8		df-submgm 41780	. . . 4 |- SubMgm = ( m e. Mgm |-> { t e. ~P ( Base ` m ) | A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` m ) y ) e. t } )
9		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( Base ` M ) e. _V
10	9	pwex 4848	. . . . 5 |- ~P ( Base ` M ) e. _V
11	10	rabex 4813	. . . 4 |- { t e. ~P ( Base ` M ) | A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t } e. _V
12	7, 8, 11	fvmpt 6282	. . 3 |- ( M e. Mgm -> (SubMgm ` M ) = { t e. ~P ( Base ` M ) | A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t } )
13	12	eleq2d 2687	. 2 |- ( M e. Mgm -> ( S e. (SubMgm ` M ) <-> S e. { t e. ~P ( Base ` M ) | A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t } ) )
14	9	elpw2 4828	. . . 4 |- ( S e. ~P ( Base ` M ) <-> S C_ ( Base ` M ) )
15	14	anbi1i 731	. . 3 |- ( ( S e. ~P ( Base ` M ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
16		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( t = S -> ( ( x ( +g ` M ) y ) e. t <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
17	16	raleqbi1dv 3146	. . . . 5 |- ( t = S -> ( A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t <-> A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
18	17	raleqbi1dv 3146	. . . 4 |- ( t = S -> ( A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t <-> A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
19	18	elrab 3363	. . 3 |- ( S e. { t e. ~P ( Base ` M ) | A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t } <-> ( S e. ~P ( Base ` M ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
20		issubmgm.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
21	20	sseq2i 3630	. . . 4 |- ( S C_ B <-> S C_ ( Base ` M ) )
22		issubmgm.p	. . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` M )
23	22	oveqi 6663	. . . . . 6 |- ( x .+ y ) = ( x ( +g ` M ) y )
24	23	eleq1i 2692	. . . . 5 |- ( ( x .+ y ) e. S <-> ( x ( +g ` M ) y ) e. S )
25	24	2ralbii 2981	. . . 4 |- ( A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S <-> A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S )
26	21, 25	anbi12i 733	. . 3 |- ( ( S C_ B /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) <-> ( S C_ ( Base ` M ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( +g ` M ) y ) e. S ) )
27	15, 19, 26	3bitr4i 292	. 2 |- ( S e. { t e. ~P ( Base ` M ) | A. x e. t A. y e. t ( x ( +g ` M ) y ) e. t } <-> ( S C_ B /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) )
28	13, 27	syl6bb 276	1 |- ( M e. Mgm -> ( S e. (SubMgm ` M ) <-> ( S C_ B /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Mgmcmgm 17240  SubMgmcsubmgm 41778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-submgm 41780

This theorem is referenced by:  issubmgm2  41790  rabsubmgmd  41791  submgmcl  41794  mgmhmima  41802  mgmhmeql  41803  submgmacs  41804