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Theorem mgmhmeql 41803
Description: The equalizer of two magma homomorphisms is a submagma. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
mgmhmeql |- ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> dom ( F i^i G ) e. (SubMgm ` S ) )
Proof of Theorem mgmhmeql
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
2 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
31, 2mgmhmf 41784 . . . . 5 |- ( F e. ( S MgmHom T ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
43adantr 481 . . . 4 |- ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
5 ffn 6045 . . . 4 |- ( F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) -> F Fn ( Base ` S ) )
64, 5syl 17 . . 3 |- ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> F Fn ( Base ` S ) )
71, 2mgmhmf 41784 . . . . 5 |- ( G e. ( S MgmHom T ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
87adantl 482 . . . 4 |- ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
9 ffn 6045 . . . 4 |- ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) -> G Fn ( Base ` S ) )
108, 9syl 17 . . 3 |- ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> G Fn ( Base ` S ) )
11 fndmin 6324 . . 3 |- ( ( F Fn ( Base ` S ) /\ G Fn ( Base ` S ) ) -> dom ( F i^i G ) = { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
126, 10, 11syl2anc 693 . 2 |- ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> dom ( F i^i G ) = { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
13 ssrab2 3687 . . . 4 |- { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } C_ ( Base ` S )
1413a1i 11 . . 3 |- ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } C_ ( Base ` S ) )
15 mgmhmrcl 41781 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( S MgmHom T ) -> ( S e. Mgm /\ T e. Mgm ) )
1615simpld 475 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( S MgmHom T ) -> S e. Mgm )
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> S e. Mgm )
1817ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> S e. Mgm )
19 simplrl 800 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
20 simprl 794 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
21 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
221, 21mgmcl 17245 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. Mgm /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
2318, 19, 20, 22syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
24 simplrr 801 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` x ) = ( G ` x ) )
25 simprr 796 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` y ) = ( G ` y ) )
2624, 25oveq12d 6668 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
27 simplll 798 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> F e. ( S MgmHom T ) )
28 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
291, 21, 28mgmhmlin 41786 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) )
3027, 19, 20, 29syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( F ` x ) ( +g ` T ) ( F ` y ) ) )
31 simpllr 799 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> G e. ( S MgmHom T ) )
321, 21, 28mgmhmlin 41786 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. ( S MgmHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
3331, 19, 20, 32syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
3426, 30, 333eqtr4d 2666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) )
35 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) )
36 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( G ` z ) = ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) )
3735, 36eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) <-> ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) )
3837elrab 3363 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } <-> ( ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) /\ ( F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) )
3923, 34, 38sylanbrc 698 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
4039expr 643 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( G ` y ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
4140ralrimiva 2966 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) -> A. y e. ( Base ` S ) ( ( F ` y ) = ( G ` y ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
42 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( F ` z ) = ( F ` y ) )
43 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( G ` z ) = ( G ` y ) )
4442, 43eqeq12d 2637 . . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) <-> ( F ` y ) = ( G ` y ) ) )
4544ralrab 3368 . . . . . . 7 |- ( A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } <-> A. y e. ( Base ` S ) ( ( F ` y ) = ( G ` y ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
4641, 45sylibr 224 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) -> A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
4746expr 643 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) -> A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
4847ralrimiva 2966 . . . 4 |- ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> A. x e. ( Base ` S ) ( ( F ` x ) = ( G ` x ) -> A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
49 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( z = x -> ( F ` z ) = ( F ` x ) )
50 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( z = x -> ( G ` z ) = ( G ` x ) )
5149, 50eqeq12d 2637 . . . . 5 |- ( z = x -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) <-> ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
5251ralrab 3368 . . . 4 |- ( A. x e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } <-> A. x e. ( Base ` S ) ( ( F ` x ) = ( G ` x ) -> A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
5348, 52sylibr 224 . . 3 |- ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> A. x e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
541, 21issubmgm 41789 . . . 4 |- ( S e. Mgm -> ( { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } e. (SubMgm ` S ) <-> ( { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } C_ ( Base ` S ) /\ A. x e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) ) )
5517, 54syl 17 . . 3 |- ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> ( { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } e. (SubMgm ` S ) <-> ( { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } C_ ( Base ` S ) /\ A. x e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( +g ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) ) )
5614, 53, 55mpbir2and 957 . 2 |- ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } e. (SubMgm ` S ) )
5712, 56eqeltrd 2701 1 |- ( ( F e. ( S MgmHom T ) /\ G e. ( S MgmHom T ) ) -> dom ( F i^i G ) e. (SubMgm ` S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Mgmcmgm 17240   MgmHom cmgmhm 41777  SubMgmcsubmgm 41778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-mgm 17242  df-mgmhm 41779  df-submgm 41780
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