Theorem istopclsd 37263

Description: A closure function which satisfies sscls 20860, clsidm 20871, cls0 20884, and clsun 32323 defines a (unique) topology which it is the closure function on. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
istopclsd.b	|- ( ph -> B e. V )
istopclsd.f	|- ( ph -> F : ~P B --> ~P B )
istopclsd.e	|- ( ( ph /\ x C_ B ) -> x C_ ( F ` x ) )
istopclsd.i	|- ( ( ph /\ x C_ B ) -> ( F ` ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
istopclsd.z	|- ( ph -> ( F ` (/) ) = (/) )
istopclsd.u	|- ( ( ph /\ x C_ B /\ y C_ B ) -> ( F ` ( x u. y ) ) = ( ( F ` x ) u. ( F ` y ) ) )
istopclsd.j	|- J = { z e. ~P B | ( F ` ( B \ z ) ) = ( B \ z ) }

Assertion

Ref	Expression
istopclsd	|- ( ph -> ( J e. (TopOn ` B ) /\ ( cls ` J ) = F ) )

Distinct variable groups:   x, B, y, z   ph, x, y, z   x, F, y, z   x, J, y   x, V, y, z

Allowed substitution hint:   J( z)

Proof of Theorem istopclsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopclsd.j	. . . 4 |- J = { z e. ~P B | ( F ` ( B \ z ) ) = ( B \ z ) }
2		istopclsd.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ~P B --> ~P B )
3		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( F : ~P B --> ~P B -> F Fn ~P B )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F Fn ~P B )
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ~P B ) -> F Fn ~P B )
6		difss 3737	. . . . . . . . 9 |- ( B \ z ) C_ B
7		istopclsd.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. V )
8		elpw2g 4827	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. V -> ( ( B \ z ) e. ~P B <-> ( B \ z ) C_ B ) )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B \ z ) e. ~P B <-> ( B \ z ) C_ B ) )
10	6, 9	mpbiri 248	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B \ z ) e. ~P B )
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ~P B ) -> ( B \ z ) e. ~P B )
12		fnelfp 6441	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn ~P B /\ ( B \ z ) e. ~P B ) -> ( ( B \ z ) e. dom ( F i^i _I ) <-> ( F ` ( B \ z ) ) = ( B \ z ) ) )
13	5, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ~P B ) -> ( ( B \ z ) e. dom ( F i^i _I ) <-> ( F ` ( B \ z ) ) = ( B \ z ) ) )
14	13	bicomd 213	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ~P B ) -> ( ( F ` ( B \ z ) ) = ( B \ z ) <-> ( B \ z ) e. dom ( F i^i _I ) ) )
15	14	rabbidva 3188	. . . 4 |- ( ph -> { z e. ~P B | ( F ` ( B \ z ) ) = ( B \ z ) } = { z e. ~P B | ( B \ z ) e. dom ( F i^i _I ) } )
16	1, 15	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> J = { z e. ~P B | ( B \ z ) e. dom ( F i^i _I ) } )
17		istopclsd.e	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x C_ B ) -> x C_ ( F ` x ) )
18		simp1 1061	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x C_ B /\ y C_ x ) -> ph )
19		simp2 1062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x C_ B /\ y C_ x ) -> x C_ B )
20		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x C_ B /\ y C_ x ) -> y C_ x )
21	20, 19	sstrd 3613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x C_ B /\ y C_ x ) -> y C_ B )
22		istopclsd.u	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x C_ B /\ y C_ B ) -> ( F ` ( x u. y ) ) = ( ( F ` x ) u. ( F ` y ) ) )
23	18, 19, 21, 22	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x C_ B /\ y C_ x ) -> ( F ` ( x u. y ) ) = ( ( F ` x ) u. ( F ` y ) ) )
24		ssequn2 3786	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ x <-> ( x u. y ) = x )
25	24	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ x -> ( x u. y ) = x )
26	25	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x C_ B /\ y C_ x ) -> ( x u. y ) = x )
27	26	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x C_ B /\ y C_ x ) -> ( F ` ( x u. y ) ) = ( F ` x ) )
28	23, 27	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x C_ B /\ y C_ x ) -> ( ( F ` x ) u. ( F ` y ) ) = ( F ` x ) )
29		ssequn2 3786	. . . . . . 7 |- ( ( F ` y ) C_ ( F ` x ) <-> ( ( F ` x ) u. ( F ` y ) ) = ( F ` x ) )
30	28, 29	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x C_ B /\ y C_ x ) -> ( F ` y ) C_ ( F ` x ) )
31		istopclsd.i	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x C_ B ) -> ( F ` ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
32	7, 2, 17, 30, 31	ismrcd1 37261	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( F i^i _I ) e. (Moore ` B ) )
33		istopclsd.z	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` (/) ) = (/) )
34		0elpw 4834	. . . . . . 7 |- (/) e. ~P B
35		fnelfp 6441	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn ~P B /\ (/) e. ~P B ) -> ( (/) e. dom ( F i^i _I ) <-> ( F ` (/) ) = (/) ) )
36	4, 34, 35	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (/) e. dom ( F i^i _I ) <-> ( F ` (/) ) = (/) ) )
37	33, 36	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> (/) e. dom ( F i^i _I ) )
38		simp1 1061	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> ph )
39		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F i^i _I ) C_ F
40		dmss 5323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F i^i _I ) C_ F -> dom ( F i^i _I ) C_ dom F )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( F i^i _I ) C_ dom F
42		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : ~P B --> ~P B -> dom F = ~P B )
43	2, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom F = ~P B )
44	41, 43	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( F i^i _I ) C_ ~P B )
45	44	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> dom ( F i^i _I ) C_ ~P B )
46		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> x e. dom ( F i^i _I ) )
47	45, 46	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> x e. ~P B )
48	47	elpwid 4170	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> x C_ B )
49		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> y e. dom ( F i^i _I ) )
50	45, 49	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> y e. ~P B )
51	50	elpwid 4170	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> y C_ B )
52	38, 48, 51, 22	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> ( F ` ( x u. y ) ) = ( ( F ` x ) u. ( F ` y ) ) )
53	4	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> F Fn ~P B )
54		fnelfp 6441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn ~P B /\ x e. ~P B ) -> ( x e. dom ( F i^i _I ) <-> ( F ` x ) = x ) )
55	53, 47, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> ( x e. dom ( F i^i _I ) <-> ( F ` x ) = x ) )
56	46, 55	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> ( F ` x ) = x )
57		fnelfp 6441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn ~P B /\ y e. ~P B ) -> ( y e. dom ( F i^i _I ) <-> ( F ` y ) = y ) )
58	53, 50, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> ( y e. dom ( F i^i _I ) <-> ( F ` y ) = y ) )
59	49, 58	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> ( F ` y ) = y )
60	56, 59	uneq12d 3768	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> ( ( F ` x ) u. ( F ` y ) ) = ( x u. y ) )
61	52, 60	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> ( F ` ( x u. y ) ) = ( x u. y ) )
62	48, 51	unssd 3789	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> ( x u. y ) C_ B )
63		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
64		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
65	63, 64	unex 6956	. . . . . . . . 9 |- ( x u. y ) e. _V
66	65	elpw 4164	. . . . . . . 8 |- ( ( x u. y ) e. ~P B <-> ( x u. y ) C_ B )
67	62, 66	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> ( x u. y ) e. ~P B )
68		fnelfp 6441	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn ~P B /\ ( x u. y ) e. ~P B ) -> ( ( x u. y ) e. dom ( F i^i _I ) <-> ( F ` ( x u. y ) ) = ( x u. y ) ) )
69	53, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> ( ( x u. y ) e. dom ( F i^i _I ) <-> ( F ` ( x u. y ) ) = ( x u. y ) ) )
70	61, 69	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. dom ( F i^i _I ) /\ y e. dom ( F i^i _I ) ) -> ( x u. y ) e. dom ( F i^i _I ) )
71		eqid 2622	. . . . 5 |- { z e. ~P B | ( B \ z ) e. dom ( F i^i _I ) } = { z e. ~P B | ( B \ z ) e. dom ( F i^i _I ) }
72	32, 37, 70, 71	mretopd 20896	. . . 4 |- ( ph -> ( { z e. ~P B | ( B \ z ) e. dom ( F i^i _I ) } e. (TopOn ` B ) /\ dom ( F i^i _I ) = ( Clsd ` { z e. ~P B | ( B \ z ) e. dom ( F i^i _I ) } ) ) )
73	72	simpld 475	. . 3 |- ( ph -> { z e. ~P B | ( B \ z ) e. dom ( F i^i _I ) } e. (TopOn ` B ) )
74	16, 73	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` B ) )
75		topontop 20718	. . . . . 6 |- ( J e. (TopOn ` B ) -> J e. Top )
76	74, 75	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> J e. Top )
77		eqid 2622	. . . . . 6 |- (mrCls ` ( Clsd ` J ) ) = (mrCls ` ( Clsd ` J ) )
78	77	mrccls 20883	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( cls ` J ) = (mrCls ` ( Clsd ` J ) ) )
79	76, 78	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( cls ` J ) = (mrCls ` ( Clsd ` J ) ) )
80	72	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( F i^i _I ) = ( Clsd ` { z e. ~P B | ( B \ z ) e. dom ( F i^i _I ) } ) )
81	16	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Clsd ` J ) = ( Clsd ` { z e. ~P B | ( B \ z ) e. dom ( F i^i _I ) } ) )
82	80, 81	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( F i^i _I ) = ( Clsd ` J ) )
83	82	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> (mrCls ` dom ( F i^i _I ) ) = (mrCls ` ( Clsd ` J ) ) )
84	79, 83	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ph -> ( cls ` J ) = (mrCls ` dom ( F i^i _I ) ) )
85	7, 2, 17, 30, 31	ismrcd2 37262	. . 3 |- ( ph -> F = (mrCls ` dom ( F i^i _I ) ) )
86	84, 85	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ph -> ( cls ` J ) = F )
87	74, 86	jca 554	1 |- ( ph -> ( J e. (TopOn ` B ) /\ ( cls ` J ) = F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   _I cid 5023   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  mrClscmrc 16243   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   clsccl 20822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-cls 20825

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