Theorem sscls 20860

Description: A subset of a topology's underlying set is included in its closure. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
sscls	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )

Proof of Theorem sscls

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4495	. 2 |- S C_ |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x }
2		clscld.1	. . 3 |- X = U. J
3	2	clsval 20841	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
4	1, 3	syl5sseqr 3654	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |^|cint 4475   ` cfv 5888   Topctop 20698   Clsdccld 20820   clsccl 20822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-top 20699  df-cld 20823  df-cls 20825

This theorem is referenced by:  iscld4  20869  elcls  20877  ntrcls0  20880  clslp  20952  restcls  20985  cncls2i  21074  nrmsep  21161  lpcls  21168  regsep2  21180  hauscmplem  21209  hauscmp  21210  clsconn  21233  conncompcld  21237  hausllycmp  21297  txcls  21407  ptclsg  21418  regr1lem  21542  kqreglem1  21544  kqreglem2  21545  kqnrmlem1  21546  kqnrmlem2  21547  fclscmpi  21833  flfcntr  21847  cnextfres  21873  clssubg  21912  tsmsid  21943  cnllycmp  22755  clsocv  23049  relcmpcmet  23115  bcthlem2  23122  bcthlem4  23124  limcnlp  23642  opnbnd  32320  opnregcld  32325  cldregopn  32326  heibor1lem  33608  heiborlem8  33617