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Theorem isucn2 22083
Description: The predicate " F is a uniformly continuous function from uniform space U to uniform space V." , expressed with filter bases for the entourages. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isucn2.u |- U = ( ( X X. X ) filGen R )
isucn2.v |- V = ( ( Y X. Y ) filGen S )
isucn2.1 |- ( ph -> U e. (UnifOn ` X ) )
isucn2.2 |- ( ph -> V e. (UnifOn ` Y ) )
isucn2.3 |- ( ph -> R e. ( fBas ` ( X X. X ) ) )
isucn2.4 |- ( ph -> S e. ( fBas ` ( Y X. Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
isucn2 |- ( ph -> ( F e. ( U Cnu V ) <-> ( F : X --> Y /\ A. s e. S E. r e. R A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   s, r, x, y, F   R, r, x, y   S, s, x, y   U, r, s, x, y   V, s, x   X, r, s, x, y   Y, s, x, y   ph, r, s, x, y
Allowed substitution hints:   R( s)   S( r)   V( y, r)   Y( r)
Proof of Theorem isucn2
Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isucn2.1 . . 3 |- ( ph -> U e. (UnifOn ` X ) )
2 isucn2.2 . . 3 |- ( ph -> V e. (UnifOn ` Y ) )
3 isucn 22082 . . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. (UnifOn ` Y ) ) -> ( F e. ( U Cnu V ) <-> ( F : X --> Y /\ A. v e. V E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 693 . 2 |- ( ph -> ( F e. ( U Cnu V ) <-> ( F : X --> Y /\ A. v e. V E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) ) ) )
5 isucn2.4 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S e. ( fBas ` ( Y X. Y ) ) )
6 ssfg 21676 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. ( fBas ` ( Y X. Y ) ) -> S C_ ( ( Y X. Y ) filGen S ) )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S C_ ( ( Y X. Y ) filGen S ) )
8 isucn2.v . . . . . . . . . . 11 |- V = ( ( Y X. Y ) filGen S )
97, 8syl6sseqr 3652 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S C_ V )
109adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> S C_ V )
1110adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. v e. V E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) ) -> S C_ V )
1211sselda 3603 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. v e. V E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) ) /\ s e. S ) -> s e. V )
13 simplr 792 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. v e. V E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) ) /\ s e. S ) -> A. v e. V E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) )
14 breq 4655 . . . . . . . . . . 11 |- ( v = s -> ( ( F ` x ) v ( F ` y ) <-> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) )
1514imbi2d 330 . . . . . . . . . 10 |- ( v = s -> ( ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) <-> ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
1615ralbidv 2986 . . . . . . . . 9 |- ( v = s -> ( A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) <-> A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
1716rexralbidv 3058 . . . . . . . 8 |- ( v = s -> ( E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) <-> E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
1817rspcva 3307 . . . . . . 7 |- ( ( s e. V /\ A. v e. V E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) ) -> E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) )
1912, 13, 18syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. v e. V E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) ) /\ s e. S ) -> E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) )
20 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. U )
21 isucn2.u . . . . . . . . . . . 12 |- U = ( ( X X. X ) filGen R )
2220, 21syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. ( ( X X. X ) filGen R ) )
23 isucn2.3 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R e. ( fBas ` ( X X. X ) ) )
24 elfg 21675 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. ( fBas ` ( X X. X ) ) -> ( u e. ( ( X X. X ) filGen R ) <-> ( u C_ ( X X. X ) /\ E. r e. R r C_ u ) ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( u e. ( ( X X. X ) filGen R ) <-> ( u C_ ( X X. X ) /\ E. r e. R r C_ u ) ) )
2625simplbda 654 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( ( X X. X ) filGen R ) ) -> E. r e. R r C_ u )
2722, 26syldan 487 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> E. r e. R r C_ u )
28 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r C_ u -> r C_ u )
2928ssbrd 4696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r C_ u -> ( x r y -> x u y ) )
3029imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r C_ u -> ( ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. R ) /\ r C_ u ) -> ( ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
3231ralrimivw 2967 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. R ) /\ r C_ u ) -> A. y e. X ( ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
3332ralrimivw 2967 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. R ) /\ r C_ u ) -> A. x e. X A. y e. X ( ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
34 ralim 2948 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. y e. X ( ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) -> ( A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
3534ralimi 2952 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. X A. y e. X ( ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) -> A. x e. X ( A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
36 ralim 2948 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. X ( A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
3733, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. R ) /\ r C_ u ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
3837ex 450 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ r e. R ) -> ( r C_ u -> ( A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) ) )
3938reximdva 3017 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. r e. R r C_ u -> E. r e. R ( A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) ) )
4039adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( E. r e. R r C_ u -> E. r e. R ( A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) ) )
4127, 40mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> E. r e. R ( A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
42 r19.37v 3087 . . . . . . . . 9 |- ( E. r e. R ( A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> E. r e. R A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> E. r e. R A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
4443rexlimdva 3031 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> E. r e. R A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
4544ad3antrrr 766 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. v e. V E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) ) /\ s e. S ) -> ( E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> E. r e. R A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
4619, 45mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. v e. V E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) ) /\ s e. S ) -> E. r e. R A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) )
4746ralrimiva 2966 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. v e. V E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) ) -> A. s e. S E. r e. R A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) )
48 ssfg 21676 . . . . . . . . . . 11 |- ( R e. ( fBas ` ( X X. X ) ) -> R C_ ( ( X X. X ) filGen R ) )
4923, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R C_ ( ( X X. X ) filGen R ) )
5049, 21syl6sseqr 3652 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> R C_ U )
51 ssrexv 3667 . . . . . . . . . 10 |- ( R C_ U -> ( E. r e. R A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
52 breq 4655 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = u -> ( x r y <-> x u y ) )
5352imbi1d 331 . . . . . . . . . . . 12 |- ( r = u -> ( ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) <-> ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
54532ralbidv 2989 . . . . . . . . . . 11 |- ( r = u -> ( A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
5554cbvrexv 3172 . . . . . . . . . 10 |- ( E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) <-> E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) )
5651, 55syl6ib 241 . . . . . . . . 9 |- ( R C_ U -> ( E. r e. R A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
5750, 56syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. r e. R A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
5857ralimdv 2963 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. s e. S E. r e. R A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
5958adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. s e. S E. r e. R A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
60 nfv 1843 . . . . . . . . . . 11 |- F/ s ( ph /\ F : X --> Y )
61 nfra1 2941 . . . . . . . . . . 11 |- F/ s A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) )
6260, 61nfan 1828 . . . . . . . . . 10 |- F/ s ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) )
63 nfv 1843 . . . . . . . . . 10 |- F/ s v e. V
6462, 63nfan 1828 . . . . . . . . 9 |- F/ s ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) /\ v e. V )
65 simp-4r 807 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) /\ v e. V ) /\ s e. S ) /\ s C_ v ) -> A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) )
66 simplr 792 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) /\ v e. V ) /\ s e. S ) /\ s C_ v ) -> s e. S )
67 rspa 2930 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) /\ s e. S ) -> E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) )
6865, 66, 67syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) /\ v e. V ) /\ s e. S ) /\ s C_ v ) -> E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) )
69 simp-4l 806 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) /\ v e. V ) /\ s e. S ) /\ s C_ v ) -> ( ph /\ F : X --> Y ) )
70 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) /\ v e. V ) /\ s e. S ) /\ s C_ v ) -> s C_ v )
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s C_ v -> s C_ v )
7271ssbrd 4696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s C_ v -> ( ( F ` x ) s ( F ` y ) -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) )
7372adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ s e. S ) /\ s C_ v ) -> ( ( F ` x ) s ( F ` y ) -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) )
7473imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ s e. S ) /\ s C_ v ) -> ( ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) ) )
7574ralimdv 2963 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ s e. S ) /\ s C_ v ) -> ( A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) ) )
7675ralimdv 2963 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ s e. S ) /\ s C_ v ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) ) )
7776reximdv 3016 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ s e. S ) /\ s C_ v ) -> ( E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) ) )
7869, 66, 70, 77syl21anc 1325 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) /\ v e. V ) /\ s e. S ) /\ s C_ v ) -> ( E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) ) )
7968, 78mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) /\ v e. V ) /\ s e. S ) /\ s C_ v ) -> E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) )
805ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) /\ v e. V ) -> S e. ( fBas ` ( Y X. Y ) ) )
81 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) /\ v e. V ) -> v e. V )
8281, 8syl6eleq 2711 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) /\ v e. V ) -> v e. ( ( Y X. Y ) filGen S ) )
83 elfg 21675 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ( fBas ` ( Y X. Y ) ) -> ( v e. ( ( Y X. Y ) filGen S ) <-> ( v C_ ( Y X. Y ) /\ E. s e. S s C_ v ) ) )
8483simplbda 654 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. ( fBas ` ( Y X. Y ) ) /\ v e. ( ( Y X. Y ) filGen S ) ) -> E. s e. S s C_ v )
8580, 82, 84syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) /\ v e. V ) -> E. s e. S s C_ v )
8664, 79, 85r19.29af 3076 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) /\ v e. V ) -> E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) )
8786ralrimiva 2966 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) -> A. v e. V E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) )
8887ex 450 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. s e. S E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> A. v e. V E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) ) )
8959, 88syld 47 . . . . 5 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. s e. S E. r e. R A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) -> A. v e. V E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) ) )
9089imp 445 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ A. s e. S E. r e. R A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) -> A. v e. V E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) )
9147, 90impbida 877 . . 3 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. v e. V E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) <-> A. s e. S E. r e. R A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) )
9291pm5.32da 673 . 2 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. v e. V E. u e. U A. x e. X A. y e. X ( x u y -> ( F ` x ) v ( F ` y ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. s e. S E. r e. R A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) ) )
934, 92bitrd 268 1 |- ( ph -> ( F e. ( U Cnu V ) <-> ( F : X --> Y /\ A. s e. S E. r e. R A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( F ` x ) s ( F ` y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   fBascfbas 19734   filGencfg 19735  UnifOncust 22003   Cnucucn 22079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-ust 22004  df-ucn 22080
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