Theorem itgulm 24162

Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
itgulm.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
itgulm.f	|- ( ph -> F : Z --> L^1 )
itgulm.u	|- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
itgulm.s	|- ( ph -> ( vol ` S ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
itgulm	|- ( ph -> ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ~~> S. S ( G ` x ) _d x )

Distinct variable groups:   x, k, F   k, G, x   ph, k, x   k, M, x   S, k, x   k, Z, x

Proof of Theorem itgulm

Dummy variables j n r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm.z	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
2		itgulm.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
3	2	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> M e. ZZ )
4		itgulm.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : Z --> L^1 )
5		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( F : Z --> L^1 -> F Fn Z )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> F Fn Z )
7		itgulm.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> F ( ~~> u ` S ) G )
8		ulmf2 24138	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn Z /\ F ( ~~> u ` S ) G ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
9	6, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
10	9	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
11		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ z e. S ) ) -> ( ( F ` n ) ` z ) = ( ( F ` n ) ` z ) )
12		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ z e. S ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
13	7	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> F ( ~~> u ` S ) G )
14		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> r e. RR+ )
15		itgulm.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( vol ` S ) e. RR )
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( vol ` S ) e. RR )
17		ulmcl 24135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F ( ~~> u ` S ) G -> G : S --> CC )
18		fdm 6051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : S --> CC -> dom G = S )
19	7, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G = S )
20	1, 2, 4, 7, 15	iblulm 24161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. L^1 )
21		iblmbf 23534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. L^1 -> G e. MblFn )
22		mbfdm 23395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. MblFn -> dom G e. dom vol )
23	20, 21, 22	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom G e. dom vol )
24	19, 23	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. dom vol )
25		mblss 23299	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. dom vol -> S C_ RR )
26		ovolge0 23249	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` S ) )
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( vol* ` S ) )
28		mblvol 23298	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. dom vol -> ( vol ` S ) = ( vol* ` S ) )
29	24, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( vol ` S ) = ( vol* ` S ) )
30	27, 29	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( vol ` S ) )
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ ( vol ` S ) )
32	16, 31	ge0p1rpd 11902	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR+ )
33	14, 32	rpdivcld 11889	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR+ )
34	1, 3, 10, 11, 12, 13, 33	ulmi 24140	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
35	1	uztrn2 11705	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> n e. Z )
36	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. ( CC ^m S ) )
37		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` n ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` n ) : S --> CC )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) : S --> CC )
39	38	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. CC )
40	39	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) /\ x e. S ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. CC )
41	40	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. CC )
42	38	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = ( x e. S |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
43	4	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. L^1 )
44	42, 43	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. S |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) e. L^1 )
45	44	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) e. L^1 )
46	7, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G : S --> CC )
47	46	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( G ` x ) e. CC )
48	47	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. S ) -> ( G ` x ) e. CC )
49	48	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` x ) e. CC )
50	46	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G = ( x e. S |-> ( G ` x ) ) )
51	50, 20	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. S |-> ( G ` x ) ) e. L^1 )
52	51	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( G ` x ) ) e. L^1 )
53	41, 45, 49, 52	itgsub 23592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x = ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) )
54	53	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) = ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) )
55	41, 49	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) e. CC )
56	41, 45, 49, 52	iblsub 23588	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) e. L^1 )
57	55, 56	itgcl 23550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x e. CC )
58	57	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) e. RR )
59	55	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) e. RR )
60	55, 56	iblabs 23595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) ) e. L^1 )
61	59, 60	itgrecl 23564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x e. RR )
62		rpre 11839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
63	62	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> r e. RR )
64	55, 56	itgabs 23601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) <_ S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x )
65	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR+ )
66	65	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR )
67	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( vol ` S ) e. RR )
68	66, 67	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) e. RR )
69		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S X. { ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) } ) = ( x e. S |-> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
70	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S e. dom vol )
71	65	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. CC )
72		iblconst 23584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( S e. dom vol /\ ( vol ` S ) e. RR /\ ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. CC ) -> ( S X. { ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) } ) e. L^1 )
73	70, 67, 71, 72	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( S X. { ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) } ) e. L^1 )
74	69, 73	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( x e. S |-> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) e. L^1 )
75	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. RR )
76		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
77		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = x -> ( ( F ` n ) ` z ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
78		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = x -> ( G ` z ) = ( G ` x ) )
79	77, 78	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = x -> ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) = ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) )
80	79	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = x -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) )
81	80	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = x -> ( ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) <-> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
82	81	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
83	76, 82	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
84	59, 75, 83	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) /\ x e. S ) -> ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) <_ ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
85	60, 74, 59, 75, 84	itgle 23576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x <_ S. S ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) _d x )
86		itgconst 23585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. dom vol /\ ( vol ` S ) e. RR /\ ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) e. CC ) -> S. S ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) _d x = ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
87	70, 67, 71, 86	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) _d x = ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
88	85, 87	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x <_ ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
89	63	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> r e. CC )
90	67	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( vol ` S ) e. CC )
91	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR+ )
92	91	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. CC )
93	91	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) =/= 0 )
94	89, 90, 92, 93	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r x. ( vol ` S ) ) / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) = ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) )
95	67	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( vol ` S ) < ( ( vol ` S ) + 1 ) )
96		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( vol ` S ) e. RR -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR )
97	67, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR )
98		rpgt0 11844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r e. RR+ -> 0 < r )
99	98	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> 0 < r )
100		ltmul2 10874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( vol ` S ) e. RR /\ ( ( vol ` S ) + 1 ) e. RR /\ ( r e. RR /\ 0 < r ) ) -> ( ( vol ` S ) < ( ( vol ` S ) + 1 ) <-> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
101	67, 97, 63, 99, 100	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( vol ` S ) < ( ( vol ` S ) + 1 ) <-> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
102	95, 101	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) )
103	63, 67	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( r x. ( vol ` S ) ) e. RR )
104	103, 63, 91	ltdivmul2d 11924	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( r x. ( vol ` S ) ) / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) < r <-> ( r x. ( vol ` S ) ) < ( r x. ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) )
105	102, 104	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r x. ( vol ` S ) ) / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) < r )
106	94, 105	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) x. ( vol ` S ) ) < r )
107	61, 68, 63, 88, 106	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> S. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) _d x < r )
108	58, 61, 63, 64, 107	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` S. S ( ( ( F ` n ) ` x ) - ( G ` x ) ) _d x ) < r )
109	54, 108	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( n e. Z /\ A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r )
110	109	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ n e. Z ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
111	35, 110	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
112	111	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ n e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
113	112	ralimdva 2962	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
114	113	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( F ` n ) ` z ) - ( G ` z ) ) ) < ( r / ( ( vol ` S ) + 1 ) ) -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
115	34, 114	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r )
116	115	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. r e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r )
117		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) e. _V
118	1, 117	eqeltri 2697	. . . . 5 |- Z e. _V
119	118	mptex 6486	. . . 4 |- ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) e. _V
120	119	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) e. _V )
121		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
122	121	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) ` x ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
123	122	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( k = n /\ x e. S ) -> ( ( F ` k ) ` x ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
124	123	itgeq2dv 23548	. . . . 5 |- ( k = n -> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x = S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x )
125		eqid 2622	. . . . 5 |- ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) = ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x )
126		itgex 23537	. . . . 5 |- S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x e. _V
127	124, 125, 126	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( n e. Z -> ( ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ` n ) = S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x )
128	127	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ` n ) = S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x )
129	47, 51	itgcl 23550	. . 3 |- ( ph -> S. S ( G ` x ) _d x e. CC )
130	39, 44	itgcl 23550	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x e. CC )
131	1, 2, 120, 128, 129, 130	clim2c 14236	. 2 |- ( ph -> ( ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ~~> S. S ( G ` x ) _d x <-> A. r e. RR+ E. j e. Z A. n e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( S. S ( ( F ` n ) ` x ) _d x - S. S ( G ` x ) _d x ) ) < r ) )
132	116, 131	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( k e. Z |-> S. S ( ( F ` k ) ` x ) _d x ) ~~> S. S ( G ` x ) _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> cli 14215   vol*covol 23231   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   L^1cibl 23386   S.citg 23387   ~~> uculm 24130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-ulm 24131

This theorem is referenced by:  itgulm2  24163