Theorem itgsinexp 40170

Description: A recursive formula for the integral of sin^N on the interval (0,π) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsinexp.1	|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
itgsinexp.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
itgsinexp	|- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, N   ph, n, x

Allowed substitution hints:   I( x, n)

Proof of Theorem itgsinexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgsinexp.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		eluzelz 11697	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
3		zcn 11382	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
5		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. CC )
6	4, 5	npcand 10396	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
7	6	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> N = ( ( N - 1 ) + 1 ) )
8	7	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( N x. ( I ` N ) ) = ( ( ( N - 1 ) + 1 ) x. ( I ` N ) ) )
9		uz2m1nn 11763	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
10	1, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN )
11	10	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. CC )
12		itgsinexp.1	. . . . . . . 8 |- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x ) )
14		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( n = N -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
15	14	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n = N ) /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
16	15	itgeq2dv 23548	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n = N ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
17		2cnd 11093	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 e. CC )
18		npcan 10290	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( N - 2 ) + 2 ) = N )
19	18	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC ) -> N = ( ( N - 2 ) + 2 ) )
20	4, 17, 19	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N = ( ( N - 2 ) + 2 ) )
21		uznn0sub 11719	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 2 ) e. NN0 )
22	1, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N - 2 ) e. NN0 )
23		2nn0 11309	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
25	22, 24	nn0addcld 11355	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N - 2 ) + 2 ) e. NN0 )
26	20, 25	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
27		itgex 23537	. . . . . . . 8 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. _V
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. _V )
29	13, 16, 26, 28	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` N ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
30		ioosscn 39716	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 (,) pi ) C_ CC
31	30	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. CC )
32	31	sincld 14860	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
33	32	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
34	26	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N e. NN0 )
35	33, 34	expcld 13008	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
36		ioossicc 12259	. . . . . . . . 9 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi ) )
38		ioombl 23333	. . . . . . . . 9 |- ( 0 (,) pi ) e. dom vol
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 (,) pi ) e. dom vol )
40		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
41		pire 24210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. RR
42		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
43	40, 41, 42	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
44		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
45	43, 44	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
46	45	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> x e. CC )
47	46	sincld 14860	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
49	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> N e. NN0 )
50	48, 49	expcld 13008	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC )
51	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. RR )
52	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> pi e. RR )
53	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> x e. CC )
54		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
55	54	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ ( ( sin ` x ) ^ N ) e. CC ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
56	53, 50, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
57	56	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) )
58	57	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) ) )
59		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) )
60		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x sin
61		sincn 24198	. . . . . . . . . . . . 13 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
63	60, 62, 26	expcnfg 39823	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
64	45	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 [,] pi ) C_ CC )
65	59, 63, 64	cncfmptss 39819	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
66	58, 65	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
67		cniccibl 23607	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
68	51, 52, 66, 67	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
69	37, 39, 50, 68	iblss 23571	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
70	35, 69	itgcl 23550	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. CC )
71	29, 70	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ph -> ( I ` N ) e. CC )
72	11, 71	adddirp1d 10066	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) x. ( I ` N ) ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) + ( I ` N ) ) )
73		eluz2b2 11761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
74	1, 73	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
75	74	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
76		expm1t 12888	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( sin ` x ) e. CC /\ N e. NN ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) )
77	32, 75, 76	syl2anr 495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) )
78	77	itgeq2dv 23548	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) _d x )
79		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) )
80		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) = ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
81		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) )
82		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) )
83		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( ( N - 1 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) x. ( cos ` x ) ) x. -u ( cos ` x ) ) )
84		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) )
85	79, 80, 81, 82, 83, 84, 10	itgsinexplem1 40169	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) _d x ) )
86	4, 5, 5	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - ( 1 + 1 ) ) )
87		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 + 1 ) = 2
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) = 2 )
89	88	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N - ( 1 + 1 ) ) = ( N - 2 ) )
90	86, 89	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - 2 ) )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( N - 1 ) - 1 ) = ( N - 2 ) )
92	91	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
93	92	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
94	93	itgeq2dv 23548	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x )
95	94	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( ( N - 1 ) - 1 ) ) ) _d x ) = ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x ) )
96		sincossq 14906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) + ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) = 1 )
97		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> 1 e. CC )
98		sincl 14856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( sin ` x ) e. CC )
99	98	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( ( sin ` x ) ^ 2 ) e. CC )
100		coscl 14857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( cos ` x ) e. CC )
101	100	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) e. CC )
102	97, 99, 101	subaddd 10410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) <-> ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) + ( ( cos ` x ) ^ 2 ) ) = 1 ) )
103	96, 102	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. CC -> ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) = ( ( cos ` x ) ^ 2 ) )
104	103	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) = ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) )
105	31, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( cos ` x ) ^ 2 ) = ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) )
106	105	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
107	106	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
108	107	itgeq2dv 23548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x )
109		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> 1 e. CC )
110	32	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( sin ` x ) ^ 2 ) e. CC )
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ 2 ) e. CC )
112	90	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( N - 2 ) = ( ( N - 1 ) - 1 ) )
113		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> ( ( N - 1 ) - 1 ) e. NN0 )
114	10, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) - 1 ) e. NN0 )
115	112, 114	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N - 2 ) e. NN0 )
116	115	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N - 2 ) e. NN0 )
117	33, 116	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) e. CC )
118	109, 111, 117	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( 1 x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) - ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ) )
119	117	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( 1 x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
120	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> 2 e. NN0 )
121	33, 116, 120	expaddd 13010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( 2 + ( N - 2 ) ) ) = ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) )
122	17, 4	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 + ( N - 2 ) ) = N )
123	122	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( sin ` x ) ^ ( 2 + ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
124	123	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( 2 + ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
125	121, 124	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
126	119, 125	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( 1 x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) - ( ( ( sin ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
127	118, 126	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) )
128	127	itgeq2dv 23548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( 1 - ( ( sin ` x ) ^ 2 ) ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) _d x )
129	115	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( N - 2 ) e. NN0 )
130	48, 129	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) e. CC )
131		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
132	131	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) e. CC ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
133	53, 130, 132	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
134	133	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) = ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) )
135	134	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) ) )
136		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
137	60, 62, 115	expcnfg 39823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
138	136, 137, 64	cncfmptss 39819	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
139	135, 138	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
140		cniccibl 23607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. L^1 )
141	51, 52, 139, 140	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. L^1 )
142	37, 39, 130, 141	iblss 23571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) e. L^1 )
143	117, 142, 35, 69	itgsub 23592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) - ( ( sin ` x ) ^ N ) ) _d x = ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) )
144	108, 128, 143	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x = ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) )
145	144	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( cos ` x ) ^ 2 ) x. ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) ) _d x ) = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
146	85, 95, 145	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( ( sin ` x ) ^ ( N - 1 ) ) x. ( sin ` x ) ) _d x = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
147	29, 78, 146	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
148		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( N - 2 ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
149	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n = ( N - 2 ) /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) )
150	149	itgeq2dv 23548	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( N - 2 ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x )
151	150	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n = ( N - 2 ) ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x )
152		itgex 23537	. . . . . . . . . . 11 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x e. _V
153	152	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x e. _V )
154	13, 151, 115, 153	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( I ` ( N - 2 ) ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x )
155	154, 29	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( I ` ( N - 2 ) ) - ( I ` N ) ) = ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) )
156	155	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( ( I ` ( N - 2 ) ) - ( I ` N ) ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x - S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x ) ) )
157	117, 142	itgcl 23550	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N - 2 ) ) _d x e. CC )
158	154, 157	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( I ` ( N - 2 ) ) e. CC )
159	11, 158, 71	subdid 10486	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( ( I ` ( N - 2 ) ) - ( I ` N ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) )
160	147, 156, 159	3eqtr2d 2662	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) )
161	160	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) = ( I ` N ) )
162	11, 158	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) e. CC )
163	11, 71	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) e. CC )
164	162, 163, 71	subaddd 10410	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) - ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) ) = ( I ` N ) <-> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) + ( I ` N ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) ) )
165	161, 164	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` N ) ) + ( I ` N ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )
166	8, 72, 165	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( N x. ( I ` N ) ) = ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )
167	166	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( ( N x. ( I ` N ) ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) / N ) )
168	75	nnne0d 11065	. . 3 |- ( ph -> N =/= 0 )
169	71, 4, 168	divcan3d 10806	. 2 |- ( ph -> ( ( N x. ( I ` N ) ) / N ) = ( I ` N ) )
170	11, 158, 4, 168	div23d 10838	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N - 1 ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )
171	167, 169, 170	3eqtr3d 2664	1 |- ( ph -> ( I ` N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) x. ( I ` ( N - 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ^cexp 12860   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  wallispilem2  40283  wallispilem4  40285  wallispilem5  40286