Theorem join0 17138

Description: Lemma for odumeet 17140. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
join0	|- ( join ` (/) ) = (/)

Proof of Theorem join0

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4790	. . 3 |- (/) e. _V
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( lub ` (/) ) = ( lub ` (/) )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( join ` (/) ) = ( join ` (/) )
4	2, 3	joinfval 17001	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ( join ` (/) ) = { <. <. x , y >. , z >. | { x , y } ( lub ` (/) ) z } )
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 |- ( join ` (/) ) = { <. <. x , y >. , z >. | { x , y } ( lub ` (/) ) z }
6		df-oprab 6654	. . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | { x , y } ( lub ` (/) ) z } = { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ { x , y } ( lub ` (/) ) z ) }
7		br0 4701	. . . . . . . . 9 |- -. { x , y } (/) z
8		base0 15912	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) = ( Base ` (/) )
9		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( le ` (/) ) = ( le ` (/) )
10		biid 251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. w x ( le ` (/) ) z /\ A. y e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) y -> z ( le ` (/) ) y ) ) <-> ( A. x e. w x ( le ` (/) ) z /\ A. y e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) y -> z ( le ` (/) ) y ) ) )
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. _V -> (/) e. _V )
12	8, 9, 2, 10, 11	lubfval 16978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. _V -> ( lub ` (/) ) = ( ( w e. ~P (/) |-> ( iota_ z e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) z /\ A. y e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) y -> z ( le ` (/) ) y ) ) ) ) |` { w | E! z e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) z /\ A. y e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) y -> z ( le ` (/) ) y ) ) } ) )
13	1, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( lub ` (/) ) = ( ( w e. ~P (/) |-> ( iota_ z e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) z /\ A. y e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) y -> z ( le ` (/) ) y ) ) ) ) |` { w | E! z e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) z /\ A. y e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) y -> z ( le ` (/) ) y ) ) } )
14		rex0 3938	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. E. z e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) z /\ A. y e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) y -> z ( le ` (/) ) y ) )
15		reurex 3160	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E! z e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) z /\ A. y e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) y -> z ( le ` (/) ) y ) ) -> E. z e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) z /\ A. y e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) y -> z ( le ` (/) ) y ) ) )
16	14, 15	mto 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. E! z e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) z /\ A. y e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) y -> z ( le ` (/) ) y ) )
17	16	abf 3978	. . . . . . . . . . . . 13 |- { w | E! z e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) z /\ A. y e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) y -> z ( le ` (/) ) y ) ) } = (/)
18	17	reseq2i 5393	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. ~P (/) |-> ( iota_ z e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) z /\ A. y e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) y -> z ( le ` (/) ) y ) ) ) ) |` { w | E! z e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) z /\ A. y e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) y -> z ( le ` (/) ) y ) ) } ) = ( ( w e. ~P (/) |-> ( iota_ z e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) z /\ A. y e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) y -> z ( le ` (/) ) y ) ) ) ) |` (/) )
19		res0 5400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. ~P (/) |-> ( iota_ z e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) z /\ A. y e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) y -> z ( le ` (/) ) y ) ) ) ) |` (/) ) = (/)
20	18, 19	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. ~P (/) |-> ( iota_ z e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) z /\ A. y e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) y -> z ( le ` (/) ) y ) ) ) ) |` { w | E! z e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) z /\ A. y e. (/) ( A. x e. w x ( le ` (/) ) y -> z ( le ` (/) ) y ) ) } ) = (/)
21	13, 20	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- ( lub ` (/) ) = (/)
22	21	breqi 4659	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } ( lub ` (/) ) z <-> { x , y } (/) z )
23	7, 22	mtbir 313	. . . . . . . 8 |- -. { x , y } ( lub ` (/) ) z
24	23	intnan 960	. . . . . . 7 |- -. ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ { x , y } ( lub ` (/) ) z )
25	24	nex 1731	. . . . . 6 |- -. E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ { x , y } ( lub ` (/) ) z )
26	25	nex 1731	. . . . 5 |- -. E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ { x , y } ( lub ` (/) ) z )
27	26	nex 1731	. . . 4 |- -. E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ { x , y } ( lub ` (/) ) z )
28	27	abf 3978	. . 3 |- { w | E. x E. y E. z ( w = <. <. x , y >. , z >. /\ { x , y } ( lub ` (/) ) z ) } = (/)
29	6, 28	eqtri 2644	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | { x , y } ( lub ` (/) ) z } = (/)
30	5, 29	eqtri 2644	1 |- ( join ` (/) ) = (/)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   ` cfv 5888   iota_crio 6610   {coprab 6651   lecple 15948   lubclub 16942   joincjn 16944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-oprab 6654  df-slot 15861  df-base 15863  df-lub 16974  df-join 16976

This theorem is referenced by:  odujoin  17142