Theorem oduglb 17139

Description: Greatest lower bounds in a dual order are least upper bounds in the original order. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	|- D = (ODual ` O )
oduglb.l	|- U = ( lub ` O )

Assertion

Ref	Expression
oduglb	|- ( O e. V -> U = ( glb ` D ) )

Proof of Theorem oduglb

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oduglb.l	. 2 |- U = ( lub ` O )
2		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- b e. _V
3		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- c e. _V
4	2, 3	brcnv 5305	. . . . . . . . . 10 |- ( b `' ( le ` O ) c <-> c ( le ` O ) b )
5	4	ralbii 2980	. . . . . . . . 9 |- ( A. c e. a b `' ( le ` O ) c <-> A. c e. a c ( le ` O ) b )
6		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- d e. _V
7	6, 3	brcnv 5305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d `' ( le ` O ) c <-> c ( le ` O ) d )
8	7	ralbii 2980	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c <-> A. c e. a c ( le ` O ) d )
9	6, 2	brcnv 5305	. . . . . . . . . . 11 |- ( d `' ( le ` O ) b <-> b ( le ` O ) d )
10	8, 9	imbi12i 340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c -> d `' ( le ` O ) b ) <-> ( A. c e. a c ( le ` O ) d -> b ( le ` O ) d ) )
11	10	ralbii 2980	. . . . . . . . 9 |- ( A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c -> d `' ( le ` O ) b ) <-> A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) d -> b ( le ` O ) d ) )
12	5, 11	anbi12i 733	. . . . . . . 8 |- ( ( A. c e. a b `' ( le ` O ) c /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c -> d `' ( le ` O ) b ) ) <-> ( A. c e. a c ( le ` O ) b /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) d -> b ( le ` O ) d ) ) )
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( b e. ( Base ` O ) -> ( ( A. c e. a b `' ( le ` O ) c /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c -> d `' ( le ` O ) b ) ) <-> ( A. c e. a c ( le ` O ) b /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) d -> b ( le ` O ) d ) ) ) )
14	13	riotabiia 6628	. . . . . 6 |- ( iota_ b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a b `' ( le ` O ) c /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c -> d `' ( le ` O ) b ) ) ) = ( iota_ b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) b /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) d -> b ( le ` O ) d ) ) )
15	14	mpteq2i 4741	. . . . 5 |- ( a e. ~P ( Base ` O ) |-> ( iota_ b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a b `' ( le ` O ) c /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c -> d `' ( le ` O ) b ) ) ) ) = ( a e. ~P ( Base ` O ) |-> ( iota_ b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) b /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) d -> b ( le ` O ) d ) ) ) )
16	12	reubii 3128	. . . . . 6 |- ( E! b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a b `' ( le ` O ) c /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c -> d `' ( le ` O ) b ) ) <-> E! b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) b /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) d -> b ( le ` O ) d ) ) )
17	16	abbii 2739	. . . . 5 |- { a | E! b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a b `' ( le ` O ) c /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c -> d `' ( le ` O ) b ) ) } = { a | E! b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) b /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) d -> b ( le ` O ) d ) ) }
18	15, 17	reseq12i 5394	. . . 4 |- ( ( a e. ~P ( Base ` O ) |-> ( iota_ b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a b `' ( le ` O ) c /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c -> d `' ( le ` O ) b ) ) ) ) |` { a | E! b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a b `' ( le ` O ) c /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c -> d `' ( le ` O ) b ) ) } ) = ( ( a e. ~P ( Base ` O ) |-> ( iota_ b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) b /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) d -> b ( le ` O ) d ) ) ) ) |` { a | E! b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) b /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) d -> b ( le ` O ) d ) ) } )
19	18	eqcomi 2631	. . 3 |- ( ( a e. ~P ( Base ` O ) |-> ( iota_ b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) b /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) d -> b ( le ` O ) d ) ) ) ) |` { a | E! b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) b /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) d -> b ( le ` O ) d ) ) } ) = ( ( a e. ~P ( Base ` O ) |-> ( iota_ b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a b `' ( le ` O ) c /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c -> d `' ( le ` O ) b ) ) ) ) |` { a | E! b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a b `' ( le ` O ) c /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c -> d `' ( le ` O ) b ) ) } )
20		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` O ) = ( Base ` O )
21		eqid 2622	. . . 4 |- ( le ` O ) = ( le ` O )
22		eqid 2622	. . . 4 |- ( lub ` O ) = ( lub ` O )
23		biid 251	. . . 4 |- ( ( A. c e. a c ( le ` O ) b /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) d -> b ( le ` O ) d ) ) <-> ( A. c e. a c ( le ` O ) b /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) d -> b ( le ` O ) d ) ) )
24		id 22	. . . 4 |- ( O e. V -> O e. V )
25	20, 21, 22, 23, 24	lubfval 16978	. . 3 |- ( O e. V -> ( lub ` O ) = ( ( a e. ~P ( Base ` O ) |-> ( iota_ b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) b /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) d -> b ( le ` O ) d ) ) ) ) |` { a | E! b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) b /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a c ( le ` O ) d -> b ( le ` O ) d ) ) } ) )
26		oduglb.d	. . . . 5 |- D = (ODual ` O )
27		fvex 6201	. . . . 5 |- (ODual ` O ) e. _V
28	26, 27	eqeltri 2697	. . . 4 |- D e. _V
29	26, 20	odubas 17133	. . . . 5 |- ( Base ` O ) = ( Base ` D )
30	26, 21	oduleval 17131	. . . . 5 |- `' ( le ` O ) = ( le ` D )
31		eqid 2622	. . . . 5 |- ( glb ` D ) = ( glb ` D )
32		biid 251	. . . . 5 |- ( ( A. c e. a b `' ( le ` O ) c /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c -> d `' ( le ` O ) b ) ) <-> ( A. c e. a b `' ( le ` O ) c /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c -> d `' ( le ` O ) b ) ) )
33		id 22	. . . . 5 |- ( D e. _V -> D e. _V )
34	29, 30, 31, 32, 33	glbfval 16991	. . . 4 |- ( D e. _V -> ( glb ` D ) = ( ( a e. ~P ( Base ` O ) |-> ( iota_ b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a b `' ( le ` O ) c /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c -> d `' ( le ` O ) b ) ) ) ) |` { a | E! b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a b `' ( le ` O ) c /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c -> d `' ( le ` O ) b ) ) } ) )
35	28, 34	mp1i 13	. . 3 |- ( O e. V -> ( glb ` D ) = ( ( a e. ~P ( Base ` O ) |-> ( iota_ b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a b `' ( le ` O ) c /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c -> d `' ( le ` O ) b ) ) ) ) |` { a | E! b e. ( Base ` O ) ( A. c e. a b `' ( le ` O ) c /\ A. d e. ( Base ` O ) ( A. c e. a d `' ( le ` O ) c -> d `' ( le ` O ) b ) ) } ) )
36	19, 25, 35	3eqtr4a 2682	. 2 |- ( O e. V -> ( lub ` O ) = ( glb ` D ) )
37	1, 36	syl5eq 2668	1 |- ( O e. V -> U = ( glb ` D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E!wreu 2914   _Vcvv 3200   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   |` cres 5116   ` cfv 5888   iota_crio 6610   Basecbs 15857   lecple 15948   lubclub 16942   glbcglb 16943  ODualcodu 17128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ple 15961  df-lub 16974  df-glb 16975  df-odu 17129

This theorem is referenced by:  odumeet  17140  oduclatb  17144