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Theorem lautco 35383
Description: The composition of two lattice automorphisms is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
lautco.i |- I = ( LAut ` K )
Assertion
Ref Expression
lautco |- ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) -> ( F o. G ) e. I )
Proof of Theorem lautco
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
2 lautco.i . . . . 5 |- I = ( LAut ` K )
31, 2laut1o 35371 . . . 4 |- ( ( K e. V /\ F e. I ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
433adant3 1081 . . 3 |- ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) -> F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
51, 2laut1o 35371 . . . 4 |- ( ( K e. V /\ G e. I ) -> G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
653adant2 1080 . . 3 |- ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) -> G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
7 f1oco 6159 . . 3 |- ( ( F : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) ) -> ( F o. G ) : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
84, 6, 7syl2anc 693 . 2 |- ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) -> ( F o. G ) : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
9 simpl1 1064 . . . . 5 |- ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> K e. V )
10 simpl2 1065 . . . . 5 |- ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> F e. I )
11 simpl3 1066 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> G e. I )
12 simprl 794 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> x e. ( Base ` K ) )
131, 2lautcl 35373 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ G e. I ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` K ) )
149, 11, 12, 13syl21anc 1325 . . . . 5 |- ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` K ) )
15 simprr 796 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> y e. ( Base ` K ) )
161, 2lautcl 35373 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ G e. I ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( G ` y ) e. ( Base ` K ) )
179, 11, 15, 16syl21anc 1325 . . . . 5 |- ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( G ` y ) e. ( Base ` K ) )
18 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
191, 18, 2lautle 35370 . . . . 5 |- ( ( ( K e. V /\ F e. I ) /\ ( ( G ` x ) e. ( Base ` K ) /\ ( G ` y ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( G ` x ) ( le ` K ) ( G ` y ) <-> ( F ` ( G ` x ) ) ( le ` K ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
209, 10, 14, 17, 19syl22anc 1327 . . . 4 |- ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( G ` x ) ( le ` K ) ( G ` y ) <-> ( F ` ( G ` x ) ) ( le ` K ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
211, 18, 2lautle 35370 . . . . 5 |- ( ( ( K e. V /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( x ( le ` K ) y <-> ( G ` x ) ( le ` K ) ( G ` y ) ) )
22213adantl2 1218 . . . 4 |- ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( x ( le ` K ) y <-> ( G ` x ) ( le ` K ) ( G ` y ) ) )
23 f1of 6137 . . . . . . 7 |- ( G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) -> G : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) )
246, 23syl 17 . . . . . 6 |- ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) -> G : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) )
25 simpl 473 . . . . . 6 |- ( ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> x e. ( Base ` K ) )
26 fvco3 6275 . . . . . 6 |- ( ( G : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
2724, 25, 26syl2an 494 . . . . 5 |- ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
28 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> y e. ( Base ` K ) )
29 fvco3 6275 . . . . . 6 |- ( ( G : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( ( F o. G ) ` y ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
3024, 28, 29syl2an 494 . . . . 5 |- ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` y ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
3127, 30breq12d 4666 . . . 4 |- ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( ( F o. G ) ` x ) ( le ` K ) ( ( F o. G ) ` y ) <-> ( F ` ( G ` x ) ) ( le ` K ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
3220, 22, 313bitr4d 300 . . 3 |- ( ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( x ( le ` K ) y <-> ( ( F o. G ) ` x ) ( le ` K ) ( ( F o. G ) ` y ) ) )
3332ralrimivva 2971 . 2 |- ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) -> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) y <-> ( ( F o. G ) ` x ) ( le ` K ) ( ( F o. G ) ` y ) ) )
341, 18, 2islaut 35369 . . 3 |- ( K e. V -> ( ( F o. G ) e. I <-> ( ( F o. G ) : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) y <-> ( ( F o. G ) ` x ) ( le ` K ) ( ( F o. G ) ` y ) ) ) ) )
35343ad2ant1 1082 . 2 |- ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) -> ( ( F o. G ) e. I <-> ( ( F o. G ) : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) /\ A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) y <-> ( ( F o. G ) ` x ) ( le ` K ) ( ( F o. G ) ` y ) ) ) ) )
368, 33, 35mpbir2and 957 1 |- ( ( K e. V /\ F e. I /\ G e. I ) -> ( F o. G ) e. I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   LAutclaut 35271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-laut 35275
This theorem is referenced by:  ldilco  35402
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