Theorem ldilco 35402

Description: The composition of two lattice automorphisms is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldilco.h	|- H = ( LHyp ` K )
ldilco.d	|- D = ( ( LDil ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
ldilco	|- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( F o. G ) e. D )

Proof of Theorem ldilco

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1085	. . 3 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) -> K e. V )
2		ldilco.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( LAut ` K ) = ( LAut ` K )
4		ldilco.d	. . . . 5 |- D = ( ( LDil ` K ) ` W )
5	2, 3, 4	ldillaut 35397	. . . 4 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D ) -> F e. ( LAut ` K ) )
6	5	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) -> F e. ( LAut ` K ) )
7	2, 3, 4	ldillaut 35397	. . . 4 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ G e. D ) -> G e. ( LAut ` K ) )
8	7	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) -> G e. ( LAut ` K ) )
9	3	lautco 35383	. . 3 |- ( ( K e. V /\ F e. ( LAut ` K ) /\ G e. ( LAut ` K ) ) -> ( F o. G ) e. ( LAut ` K ) )
10	1, 6, 8, 9	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( F o. G ) e. ( LAut ` K ) )
11		simp11 1091	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) /\ x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) -> ( K e. V /\ W e. H ) )
12		simp13 1093	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) /\ x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) -> G e. D )
13		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
14	13, 2, 4	ldil1o 35398	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ G e. D ) -> G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
15	11, 12, 14	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) /\ x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) -> G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) )
16		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( G : ( Base ` K ) -1-1-onto-> ( Base ` K ) -> G : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) /\ x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) -> G : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) )
18		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) /\ x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) -> x e. ( Base ` K ) )
19		fvco3 6275	. . . . . 6 |- ( ( G : ( Base ` K ) --> ( Base ` K ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) /\ x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
21		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) /\ x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) -> x ( le ` K ) W )
22		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
23	13, 22, 2, 4	ldilval 35399	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ G e. D /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) -> ( G ` x ) = x )
24	11, 12, 18, 21, 23	syl112anc 1330	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) /\ x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) -> ( G ` x ) = x )
25	24	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) /\ x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) -> ( F ` ( G ` x ) ) = ( F ` x ) )
26		simp12 1092	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) /\ x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) -> F e. D )
27	13, 22, 2, 4	ldilval 35399	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) -> ( F ` x ) = x )
28	11, 26, 18, 21, 27	syl112anc 1330	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) /\ x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) -> ( F ` x ) = x )
29	20, 25, 28	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) /\ x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = x )
30	29	3exp 1264	. . 3 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( x e. ( Base ` K ) -> ( x ( le ` K ) W -> ( ( F o. G ) ` x ) = x ) ) )
31	30	ralrimiv 2965	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) -> A. x e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) W -> ( ( F o. G ) ` x ) = x ) )
32	13, 22, 2, 3, 4	isldil 35396	. . 3 |- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> ( ( F o. G ) e. D <-> ( ( F o. G ) e. ( LAut ` K ) /\ A. x e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) W -> ( ( F o. G ) ` x ) = x ) ) ) )
33	32	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( ( F o. G ) e. D <-> ( ( F o. G ) e. ( LAut ` K ) /\ A. x e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) W -> ( ( F o. G ) ` x ) = x ) ) ) )
34	10, 31, 33	mpbir2and 957	1 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( F o. G ) e. D )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   LHypclh 35270   LAutclaut 35271   LDilcldil 35386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-laut 35275  df-ldil 35390

This theorem is referenced by:  ltrnco  36007