Theorem lbreu 10973

Description: If a set of reals contains a lower bound, it contains a unique lower bound. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lbreu	|- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> E! x e. S A. y e. S x <_ y )

Distinct variable group:   x, y, S

Proof of Theorem lbreu

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( x <_ y <-> x <_ w ) )
2	1	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( w e. S -> ( A. y e. S x <_ y -> x <_ w ) )
3		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( w <_ y <-> w <_ x ) )
4	3	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( x e. S -> ( A. y e. S w <_ y -> w <_ x ) )
5	2, 4	im2anan9r 881	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> ( x <_ w /\ w <_ x ) ) )
6		ssel 3597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ RR -> ( x e. S -> x e. RR ) )
7		ssel 3597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ RR -> ( w e. S -> w e. RR ) )
8	6, 7	anim12d 586	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ RR -> ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( x e. RR /\ w e. RR ) ) )
9	8	impcom 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. S /\ w e. S ) /\ S C_ RR ) -> ( x e. RR /\ w e. RR ) )
10		letri3 10123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ w e. RR ) -> ( x = w <-> ( x <_ w /\ w <_ x ) ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. S /\ w e. S ) /\ S C_ RR ) -> ( x = w <-> ( x <_ w /\ w <_ x ) ) )
12	11	exbiri 652	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( S C_ RR -> ( ( x <_ w /\ w <_ x ) -> x = w ) ) )
13	12	com23 86	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( x <_ w /\ w <_ x ) -> ( S C_ RR -> x = w ) ) )
14	5, 13	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> ( S C_ RR -> x = w ) ) )
15	14	com3r 87	. . . . 5 |- ( S C_ RR -> ( ( x e. S /\ w e. S ) -> ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
16	15	ralrimivv 2970	. . . 4 |- ( S C_ RR -> A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) )
17	16	anim2i 593	. . 3 |- ( ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ S C_ RR ) -> ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
18	17	ancoms 469	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
19		breq1 4656	. . . 4 |- ( x = w -> ( x <_ y <-> w <_ y ) )
20	19	ralbidv 2986	. . 3 |- ( x = w -> ( A. y e. S x <_ y <-> A. y e. S w <_ y ) )
21	20	reu4 3400	. 2 |- ( E! x e. S A. y e. S x <_ y <-> ( E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A. x e. S A. w e. S ( ( A. y e. S x <_ y /\ A. y e. S w <_ y ) -> x = w ) ) )
22	18, 21	sylibr 224	1 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> E! x e. S A. y e. S x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   RRcr 9935   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  lbcl  10974  lble  10975  uzwo2  11752