Theorem fiminre 10972

Description: A nonempty finite set of real numbers has a minimum. Analogous to fimaxre 10968. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fiminre	|- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem fiminre

Dummy variables m n r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . . 4 |- { r e. RR | -u r e. A } C_ RR
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> { r e. RR | -u r e. A } C_ RR )
3		negfi 10971	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin ) -> { r e. RR | -u r e. A } e. Fin )
4	3	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> { r e. RR | -u r e. A } e. Fin )
5		negn0 10459	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) ) -> { r e. RR | -u r e. A } =/= (/) )
6	5	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> { r e. RR | -u r e. A } =/= (/) )
7		fimaxre 10968	. . 3 |- ( ( { r e. RR | -u r e. A } C_ RR /\ { r e. RR | -u r e. A } e. Fin /\ { r e. RR | -u r e. A } =/= (/) ) -> E. n e. { r e. RR | -u r e. A } A. m e. { r e. RR | -u r e. A } m <_ n )
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. n e. { r e. RR | -u r e. A } A. m e. { r e. RR | -u r e. A } m <_ n )
9		negeq 10273	. . . . . . . 8 |- ( r = n -> -u r = -u n )
10	9	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( r = n -> ( -u r e. A <-> -u n e. A ) )
11	10	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( n e. { r e. RR | -u r e. A } <-> ( n e. RR /\ -u n e. A ) )
12		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) /\ A. m e. { r e. RR | -u r e. A } m <_ n ) -> -u n e. A )
13		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u n -> ( x <_ y <-> -u n <_ y ) )
14	13	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( x = -u n -> ( A. y e. A x <_ y <-> A. y e. A -u n <_ y ) )
15	14	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) /\ A. m e. { r e. RR | -u r e. A } m <_ n ) /\ x = -u n ) -> ( A. y e. A x <_ y <-> A. y e. A -u n <_ y ) )
16		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A C_ RR -> ( y e. A -> y e. RR ) )
17		renegcl 10344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR -> -u y e. RR )
18	16, 17	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A C_ RR -> ( y e. A -> -u y e. RR ) )
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) -> ( y e. A -> -u y e. RR ) )
20	19	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) /\ y e. A ) -> -u y e. RR )
21	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) -> ( y e. A -> y e. RR ) )
22		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. RR -> y e. CC )
23	21, 22	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) -> ( y e. A -> y e. CC ) )
24	23	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) /\ y e. A ) -> y e. CC )
25	24	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) /\ y e. A ) -> -u -u y = y )
26		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) /\ y e. A ) -> y e. A )
27	25, 26	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) /\ y e. A ) -> -u -u y e. A )
28		negeq 10273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = -u y -> -u r = -u -u y )
29	28	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = -u y -> ( -u r e. A <-> -u -u y e. A ) )
30	29	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u y e. { r e. RR | -u r e. A } <-> ( -u y e. RR /\ -u -u y e. A ) )
31	20, 27, 30	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) /\ y e. A ) -> -u y e. { r e. RR | -u r e. A } )
32		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = -u y -> ( m <_ n <-> -u y <_ n ) )
33	32	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u y e. { r e. RR | -u r e. A } -> ( A. m e. { r e. RR | -u r e. A } m <_ n -> -u y <_ n ) )
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) /\ y e. A ) -> ( A. m e. { r e. RR | -u r e. A } m <_ n -> -u y <_ n ) )
35	21	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) /\ y e. A ) -> y e. RR )
36		simplll 798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) /\ y e. A ) -> n e. RR )
37		lenegcon1 10532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. RR /\ n e. RR ) -> ( -u y <_ n <-> -u n <_ y ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) /\ y e. A ) -> ( -u y <_ n <-> -u n <_ y ) )
39	34, 38	sylibd 229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) /\ y e. A ) -> ( A. m e. { r e. RR | -u r e. A } m <_ n -> -u n <_ y ) )
40	39	impancom 456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) /\ A. m e. { r e. RR | -u r e. A } m <_ n ) -> ( y e. A -> -u n <_ y ) )
41	40	ralrimiv 2965	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) /\ A. m e. { r e. RR | -u r e. A } m <_ n ) -> A. y e. A -u n <_ y )
42	12, 15, 41	rspcedvd 3317	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) /\ A. m e. { r e. RR | -u r e. A } m <_ n ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )
43	42	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) /\ A C_ RR ) -> ( A. m e. { r e. RR | -u r e. A } m <_ n -> E. x e. A A. y e. A x <_ y ) )
44	43	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( n e. RR /\ -u n e. A ) -> ( A C_ RR -> ( A. m e. { r e. RR | -u r e. A } m <_ n -> E. x e. A A. y e. A x <_ y ) ) )
45	11, 44	sylbi 207	. . . . 5 |- ( n e. { r e. RR | -u r e. A } -> ( A C_ RR -> ( A. m e. { r e. RR | -u r e. A } m <_ n -> E. x e. A A. y e. A x <_ y ) ) )
46	45	impcom 446	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ n e. { r e. RR | -u r e. A } ) -> ( A. m e. { r e. RR | -u r e. A } m <_ n -> E. x e. A A. y e. A x <_ y ) )
47	46	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( E. n e. { r e. RR | -u r e. A } A. m e. { r e. RR | -u r e. A } m <_ n -> E. x e. A A. y e. A x <_ y ) )
48	47	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> ( E. n e. { r e. RR | -u r e. A } A. m e. { r e. RR | -u r e. A } m <_ n -> E. x e. A A. y e. A x <_ y ) )
49	8, 48	mpd 15	1 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   <_ cle 10075   -ucneg 10267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  prmgaplem4  15758  fiminre2  39594  hoidmvlelem2  40810