Theorem lnmfg 37652

Description: A Noetherian left module is finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lnmfg	|- ( M e. LNoeM -> M e. LFinGen )

Proof of Theorem lnmfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
2	1	ressid 15935	. 2 |- ( M e. LNoeM -> ( M ↾s ( Base ` M ) ) = M )
3		lnmlmod 37649	. . . 4 |- ( M e. LNoeM -> M e. LMod )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( LSubSp ` M ) = ( LSubSp ` M )
5	1, 4	lss1 18939	. . . 4 |- ( M e. LMod -> ( Base ` M ) e. ( LSubSp ` M ) )
6	3, 5	syl 17	. . 3 |- ( M e. LNoeM -> ( Base ` M ) e. ( LSubSp ` M ) )
7		eqid 2622	. . . 4 |- ( M ↾s ( Base ` M ) ) = ( M ↾s ( Base ` M ) )
8	4, 7	lnmlssfg 37650	. . 3 |- ( ( M e. LNoeM /\ ( Base ` M ) e. ( LSubSp ` M ) ) -> ( M ↾s ( Base ` M ) ) e. LFinGen )
9	6, 8	mpdan 702	. 2 |- ( M e. LNoeM -> ( M ↾s ( Base ` M ) ) e. LFinGen )
10	2, 9	eqeltrrd 2702	1 |- ( M e. LNoeM -> M e. LFinGen )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932  LFinGenclfig 37637  LNoeMclnm 37645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-ress 15865  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lnm 37646

This theorem is referenced by: (None)