Theorem ressid 15935

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	|- B = ( Base ` W )

Assertion

Ref	Expression
ressid	|- ( W e. X -> ( W ↾s B ) = W )

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. 2 |- B C_ B
2		ressid.1	. . 3 |- B = ( Base ` W )
3		fvex 6201	. . 3 |- ( Base ` W ) e. _V
4	2, 3	eqeltri 2697	. 2 |- B e. _V
5		eqid 2622	. . 3 |- ( W ↾s B ) = ( W ↾s B )
6	5, 2	ressid2 15928	. 2 |- ( ( B C_ B /\ W e. X /\ B e. _V ) -> ( W ↾s B ) = W )
7	1, 4, 6	mp3an13 1415	1 |- ( W e. X -> ( W ↾s B ) = W )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-ress 15865

This theorem is referenced by:  ressval3d  15937  submid  17351  subgid  17596  gaid2  17736  subrgid  18782  rlmval2  19194  rlmsca  19200  rlmsca2  19201  evlrhm  19525  evlsscasrng  19526  evlsvarsrng  19528  evl1sca  19698  evl1var  19700  evls1scasrng  19703  evls1varsrng  19704  pf1ind  19719  evl1gsumadd  19722  evl1varpw  19725  pjff  20056  dsmmfi  20082  frlmip  20117  cnstrcvs  22941  cncvs  22945  rlmbn  23157  ishl2  23166  rrxprds  23177  dchrptlem2  24990  lnmfg  37652  lmhmfgsplit  37656  pwslnmlem2  37663  submgmid  41793