Theorem lo1bdd 14251

Description: The defining property of an eventually upper bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lo1bdd	|- ( ( F e. <_O(1) /\ F : A --> RR ) -> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ m ) )

Distinct variable groups:   x, m, y, A   m, F, x, y

Proof of Theorem lo1bdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. 2 |- ( ( F e. <_O(1) /\ F : A --> RR ) -> F e. <_O(1) )
2		simpr 477	. . 3 |- ( ( F e. <_O(1) /\ F : A --> RR ) -> F : A --> RR )
3		fdm 6051	. . . . 5 |- ( F : A --> RR -> dom F = A )
4	3	adantl 482	. . . 4 |- ( ( F e. <_O(1) /\ F : A --> RR ) -> dom F = A )
5		lo1dm 14250	. . . . 5 |- ( F e. <_O(1) -> dom F C_ RR )
6	5	adantr 481	. . . 4 |- ( ( F e. <_O(1) /\ F : A --> RR ) -> dom F C_ RR )
7	4, 6	eqsstr3d 3640	. . 3 |- ( ( F e. <_O(1) /\ F : A --> RR ) -> A C_ RR )
8		ello12 14247	. . 3 |- ( ( F : A --> RR /\ A C_ RR ) -> ( F e. <_O(1) <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ m ) ) )
9	2, 7, 8	syl2anc 693	. 2 |- ( ( F e. <_O(1) /\ F : A --> RR ) -> ( F e. <_O(1) <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ m ) ) )
10	1, 9	mpbid 222	1 |- ( ( F e. <_O(1) /\ F : A --> RR ) -> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ m ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   <_ cle 10075   <_O(1)clo1 14218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-lo1 14222

This theorem is referenced by:  lo1res  14290