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Theorem lo1res 14290
Description: The restriction of an eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
lo1res |- ( F e. <_O(1) -> ( F |` A ) e. <_O(1) )
Proof of Theorem lo1res
Dummy variables x m y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1f 14249 . . . 4 |- ( F e. <_O(1) -> F : dom F --> RR )
2 lo1bdd 14251 . . . 4 |- ( ( F e. <_O(1) /\ F : dom F --> RR ) -> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. dom F ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ m ) )
31, 2mpdan 702 . . 3 |- ( F e. <_O(1) -> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. dom F ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ m ) )
4 inss1 3833 . . . . . . 7 |- ( dom F i^i A ) C_ dom F
5 ssralv 3666 . . . . . . 7 |- ( ( dom F i^i A ) C_ dom F -> ( A. y e. dom F ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ m ) -> A. y e. ( dom F i^i A ) ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ m ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 |- ( A. y e. dom F ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ m ) -> A. y e. ( dom F i^i A ) ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ m ) )
7 inss2 3834 . . . . . . . . . . 11 |- ( dom F i^i A ) C_ A
87sseli 3599 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( dom F i^i A ) -> y e. A )
9 fvres 6207 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. A -> ( ( F |` A ) ` y ) = ( F ` y ) )
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( y e. ( dom F i^i A ) -> ( ( F |` A ) ` y ) = ( F ` y ) )
1110breq1d 4663 . . . . . . . 8 |- ( y e. ( dom F i^i A ) -> ( ( ( F |` A ) ` y ) <_ m <-> ( F ` y ) <_ m ) )
1211imbi2d 330 . . . . . . 7 |- ( y e. ( dom F i^i A ) -> ( ( x <_ y -> ( ( F |` A ) ` y ) <_ m ) <-> ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ m ) ) )
1312ralbiia 2979 . . . . . 6 |- ( A. y e. ( dom F i^i A ) ( x <_ y -> ( ( F |` A ) ` y ) <_ m ) <-> A. y e. ( dom F i^i A ) ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ m ) )
146, 13sylibr 224 . . . . 5 |- ( A. y e. dom F ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ m ) -> A. y e. ( dom F i^i A ) ( x <_ y -> ( ( F |` A ) ` y ) <_ m ) )
1514reximi 3011 . . . 4 |- ( E. m e. RR A. y e. dom F ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ m ) -> E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i A ) ( x <_ y -> ( ( F |` A ) ` y ) <_ m ) )
1615reximi 3011 . . 3 |- ( E. x e. RR E. m e. RR A. y e. dom F ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ m ) -> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i A ) ( x <_ y -> ( ( F |` A ) ` y ) <_ m ) )
173, 16syl 17 . 2 |- ( F e. <_O(1) -> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i A ) ( x <_ y -> ( ( F |` A ) ` y ) <_ m ) )
18 fssres 6070 . . . . 5 |- ( ( F : dom F --> RR /\ ( dom F i^i A ) C_ dom F ) -> ( F |` ( dom F i^i A ) ) : ( dom F i^i A ) --> RR )
191, 4, 18sylancl 694 . . . 4 |- ( F e. <_O(1) -> ( F |` ( dom F i^i A ) ) : ( dom F i^i A ) --> RR )
20 resres 5409 . . . . . 6 |- ( ( F |` dom F ) |` A ) = ( F |` ( dom F i^i A ) )
21 ffn 6045 . . . . . . . 8 |- ( F : dom F --> RR -> F Fn dom F )
22 fnresdm 6000 . . . . . . . 8 |- ( F Fn dom F -> ( F |` dom F ) = F )
231, 21, 223syl 18 . . . . . . 7 |- ( F e. <_O(1) -> ( F |` dom F ) = F )
2423reseq1d 5395 . . . . . 6 |- ( F e. <_O(1) -> ( ( F |` dom F ) |` A ) = ( F |` A ) )
2520, 24syl5eqr 2670 . . . . 5 |- ( F e. <_O(1) -> ( F |` ( dom F i^i A ) ) = ( F |` A ) )
2625feq1d 6030 . . . 4 |- ( F e. <_O(1) -> ( ( F |` ( dom F i^i A ) ) : ( dom F i^i A ) --> RR <-> ( F |` A ) : ( dom F i^i A ) --> RR ) )
2719, 26mpbid 222 . . 3 |- ( F e. <_O(1) -> ( F |` A ) : ( dom F i^i A ) --> RR )
28 lo1dm 14250 . . . 4 |- ( F e. <_O(1) -> dom F C_ RR )
294, 28syl5ss 3614 . . 3 |- ( F e. <_O(1) -> ( dom F i^i A ) C_ RR )
30 ello12 14247 . . 3 |- ( ( ( F |` A ) : ( dom F i^i A ) --> RR /\ ( dom F i^i A ) C_ RR ) -> ( ( F |` A ) e. <_O(1) <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i A ) ( x <_ y -> ( ( F |` A ) ` y ) <_ m ) ) )
3127, 29, 30syl2anc 693 . 2 |- ( F e. <_O(1) -> ( ( F |` A ) e. <_O(1) <-> E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i A ) ( x <_ y -> ( ( F |` A ) ` y ) <_ m ) ) )
3217, 31mpbird 247 1 |- ( F e. <_O(1) -> ( F |` A ) e. <_O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   <_ cle 10075   <_O(1)clo1 14218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-lo1 14222
This theorem is referenced by:  o1res  14291  lo1res2  14293  lo1resb  14295
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