Theorem ello1mpt 14252

Description: Elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ello1mpt.1	|- ( ph -> A C_ RR )
ello1mpt.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
ello1mpt	|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )

Distinct variable groups:   x, m, y, A   B, m, y   ph, m, x, y

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem ello1mpt

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ello1mpt.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	1, 2	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> RR )
4		ello1mpt.1	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
5		ello12 14247	. . 3 |- ( ( ( x e. A |-> B ) : A --> RR /\ A C_ RR ) -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <_ m ) ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <_ m ) ) )
7		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ x y <_ z
8		nffvmpt1 6199	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( x e. A |-> B ) ` z )
9		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x <_
10		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x m
11	8, 9, 10	nfbr 4699	. . . . . 6 |- F/ x ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <_ m
12	7, 11	nfim 1825	. . . . 5 |- F/ x ( y <_ z -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <_ m )
13		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ z ( y <_ x -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <_ m )
14		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( y <_ z <-> y <_ x ) )
15		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) = ( ( x e. A |-> B ) ` x ) )
16	15	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <_ m <-> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <_ m ) )
17	14, 16	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( z = x -> ( ( y <_ z -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <_ m ) <-> ( y <_ x -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <_ m ) ) )
18	12, 13, 17	cbvral 3167	. . . 4 |- ( A. z e. A ( y <_ z -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <_ m ) <-> A. x e. A ( y <_ x -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <_ m ) )
19		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
20	2	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ B e. RR ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
21	19, 1, 20	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
22	21	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <_ m <-> B <_ m ) )
23	22	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( y <_ x -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <_ m ) <-> ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
24	23	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. A ( y <_ x -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <_ m ) <-> A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
25	18, 24	syl5bb 272	. . 3 |- ( ph -> ( A. z e. A ( y <_ z -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <_ m ) <-> A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
26	25	2rexbidv 3057	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. RR E. m e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <_ m ) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
27	6, 26	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   <_ cle 10075   <_O(1)clo1 14218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-lo1 14222

This theorem is referenced by:  ello1mpt2  14253  ello1d  14254  elo1mpt  14265  o1lo1  14268  lo1resb  14295  lo1add  14357  lo1mul  14358  lo1le  14382