Theorem ltrnid 35421

Description: A lattice translation is the identity function iff all atoms not under the fiducial co-atom W are equal to their values. (Contributed by NM, 24-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrneq.b	|- B = ( Base ` K )
ltrneq.l	|- .<_ = ( le ` K )
ltrneq.a	|- A = ( Atoms ` K )
ltrneq.h	|- H = ( LHyp ` K )
ltrneq.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
ltrnid	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) <-> F = ( _I |` B ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   B, p   F, p   H, p   K, p   T, p   W, p

Allowed substitution hint:   .<_ ( p)

Proof of Theorem ltrnid

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp-4l 806	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> K e. HL )
2		ltrneq.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( LHyp ` K )
3		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( LAut ` K ) = ( LAut ` K )
4		ltrneq.t	. . . . . . . . 9 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5	2, 3, 4	ltrnlaut 35409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F e. ( LAut ` K ) )
6	5	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> F e. ( LAut ` K ) )
7		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> x e. B )
8		simplll 798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> F e. T )
10		ltrneq.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = ( Base ` K )
11		ltrneq.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A = ( Atoms ` K )
12	10, 11	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. A -> p e. B )
13	12	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> p e. B )
14		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> p .<_ W )
15		ltrneq.l	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .<_ = ( le ` K )
16	10, 15, 2, 4	ltrnval1 35420	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( p e. B /\ p .<_ W ) ) -> ( F ` p ) = p )
17	8, 9, 13, 14, 16	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> ( F ` p ) = p )
18	17	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) )
19		pm2.61 183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> ( ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> ( F ` p ) = p ) )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> ( F ` p ) = p ) )
21	20	ralimdva 2962	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> A. p e. A ( F ` p ) = p ) )
22	21	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> A. p e. A ( F ` p ) = p )
23	22	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> A. p e. A ( F ` p ) = p )
24	10, 11, 3	lauteq 35381	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ F e. ( LAut ` K ) /\ x e. B ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = p ) -> ( F ` x ) = x )
25	1, 6, 7, 23, 24	syl31anc 1329	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> ( F ` x ) = x )
26		fvresi 6439	. . . . . . 7 |- ( x e. B -> ( ( _I |` B ) ` x ) = x )
27	26	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> ( ( _I |` B ) ` x ) = x )
28	25, 27	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> ( F ` x ) = ( ( _I |` B ) ` x ) )
29	28	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> A. x e. B ( F ` x ) = ( ( _I |` B ) ` x ) )
30	10, 2, 4	ltrn1o 35410	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : B -1-1-onto-> B )
31	30	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )
32		f1ofn 6138	. . . . . 6 |- ( F : B -1-1-onto-> B -> F Fn B )
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> F Fn B )
34		fnresi 6008	. . . . 5 |- ( _I |` B ) Fn B
35		eqfnfv 6311	. . . . 5 |- ( ( F Fn B /\ ( _I |` B ) Fn B ) -> ( F = ( _I |` B ) <-> A. x e. B ( F ` x ) = ( ( _I |` B ) ` x ) ) )
36	33, 34, 35	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> ( F = ( _I |` B ) <-> A. x e. B ( F ` x ) = ( ( _I |` B ) ` x ) ) )
37	29, 36	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> F = ( _I |` B ) )
38	37	ex 450	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> F = ( _I |` B ) ) )
39	12	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> p e. B )
40		fvresi 6439	. . . . . 6 |- ( p e. B -> ( ( _I |` B ) ` p ) = p )
41	39, 40	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( ( _I |` B ) ` p ) = p )
42		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( F = ( _I |` B ) -> ( F ` p ) = ( ( _I |` B ) ` p ) )
43	42	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( F = ( _I |` B ) -> ( ( F ` p ) = p <-> ( ( _I |` B ) ` p ) = p ) )
44	41, 43	syl5ibrcom 237	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( F = ( _I |` B ) -> ( F ` p ) = p ) )
45	44	a1dd 50	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( F = ( _I |` B ) -> ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) )
46	45	ralrimdva 2969	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( F = ( _I |` B ) -> A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) )
47	38, 46	impbid 202	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) <-> F = ( _I |` B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   _I cid 5023   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LAutclaut 35271   LTrncltrn 35387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391

This theorem is referenced by:  ltrnnid  35422