Theorem lvolbase 34864

Description: A 3-dim lattice volume is a lattice element. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvolbase.b	|- B = ( Base ` K )
lvolbase.v	|- V = ( LVols ` K )

Assertion

Ref	Expression
lvolbase	|- ( X e. V -> X e. B )

Proof of Theorem lvolbase

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3920	. . . 4 |- ( X e. V -> -. V = (/) )
2		lvolbase.v	. . . . 5 |- V = ( LVols ` K )
3	2	eqeq1i 2627	. . . 4 |- ( V = (/) <-> ( LVols ` K ) = (/) )
4	1, 3	sylnib 318	. . 3 |- ( X e. V -> -. ( LVols ` K ) = (/) )
5		fvprc 6185	. . 3 |- ( -. K e. _V -> ( LVols ` K ) = (/) )
6	4, 5	nsyl2 142	. 2 |- ( X e. V -> K e. _V )
7		lvolbase.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
8		eqid 2622	. . . 4 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
9		eqid 2622	. . . 4 |- ( LPlanes ` K ) = ( LPlanes ` K )
10	7, 8, 9, 2	islvol 34859	. . 3 |- ( K e. _V -> ( X e. V <-> ( X e. B /\ E. x e. ( LPlanes ` K ) x ( <o ` K ) X ) ) )
11	10	simprbda 653	. 2 |- ( ( K e. _V /\ X e. V ) -> X e. B )
12	6, 11	mpancom 703	1 |- ( X e. V -> X e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   <o ccvr 34549   LPlanesclpl 34778   LVolsclvol 34779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-lvols 34786

This theorem is referenced by:  islvol2  34866  lvolnle3at  34868  lvolneatN  34874  lvolnelln  34875  lvolnelpln  34876  lplncvrlvol2  34901  lvolcmp  34903  2lplnja  34905