lvolnle3at - Mathbox for Norm Megill

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Theorem lvolnle3at 34868

Description: A lattice plane (or lattice line or atom) cannot majorize a lattice volume. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lvolnle3at.l
lvolnle3at.j	$.\/$
lvolnle3at.a
lvolnle3at.v

**Assertion**
Ref	Expression
lvolnle3at	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$

Proof of Theorem lvolnle3at Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 792	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		eqid 2622	. . . . . 6
3		eqid 2622	. . . . . 6
4		eqid 2622	. . . . . 6
5		lvolnle3at.v	. . . . . 6
6	2, 3, 4, 5	islvol 34859	. . . . 5 $/\$
7	6	ad2antrr 762	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
8	1, 7	mpbid 222	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	8	simprd 479	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 $.\/$ $.\/$
11	10	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
12	11	breq2d 4665	. . . . . . 7 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
13	12	notbid 308	. . . . . 6 $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
14		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16		simp21 1094	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17		simp22 1095	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		lvolnle3at.l	. . . . . . . . . . . . 13
19		lvolnle3at.j	. . . . . . . . . . . . 13 $.\/$
20		lvolnle3at.a	. . . . . . . . . . . . 13
21	18, 19, 20, 4	lplnnle2at 34827	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
22	14, 15, 16, 17, 21	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
23	2, 4	lplnbase 34820	. . . . . . . . . . . . . . 15
24	15, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26	2, 5	lvolbase 34864	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15
30	2, 29, 3	cvrlt 34557	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
31	14, 24, 27, 28, 30	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		hlpos 34652	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	14, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	2, 19, 20	hlatjcl 34653	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $.\/$
35	14, 16, 17, 34	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
36	2, 18, 29	pltletr 16971	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
37	33, 24, 27, 35, 36	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
38	31, 37	mpand 711	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
39	18, 29	pltle 16961	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
40	14, 15, 35, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
41	38, 40	syld 47	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
42	22, 41	mtod 189	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
43	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
44		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
45		hllat 34650	. . . . . . . . . . . . . 14
46	14, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		simp23 1096	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	2, 20	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . . 14
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	2, 18, 19	latleeqj2 17064	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
51	46, 49, 35, 50	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
53	44, 52	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
54	53	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
55	43, 54	mtbird 315	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
56	55	anassrs 680	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
57		simpl1l 1112	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
58		simpl3l 1116	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
59		simpl2 1065	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $/\$
60		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
61	18, 19, 20, 4	lplni2 34823	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
62	57, 59, 60, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
63	29, 4	lplnnlt 34851	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
64	57, 58, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
65	2, 19	latjcl 17051	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
66	46, 35, 49, 65	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
67	2, 18, 29	pltletr 16971	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
68	33, 24, 27, 66, 67	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
69	31, 68	mpand 711	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
70	69	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
71	64, 70	mtod 189	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
72	71	anassrs 680	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
73	56, 72	pm2.61dan 832	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
74		eqid 2622	. . . . . . . . . 10
75	74, 19, 20, 4	lplnnle2at 34827	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
76	14, 15, 17, 47, 75	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
77	2, 19, 20	hlatjcl 34653	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $.\/$
78	14, 17, 47, 77	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
79	2, 18, 29	pltletr 16971	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
80	33, 24, 27, 78, 79	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
81	31, 80	mpand 711	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
82	74, 29	pltle 16961	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
83	14, 15, 78, 82	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
84	81, 83	syld 47	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
85	76, 84	mtod 189	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
86	19, 20	hlatjidm 34655	. . . . . . . . . 10 $/\$ $.\/$
87	14, 17, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
88	87	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
89	88	breq2d 4665	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
90	85, 89	mtbird 315	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
91	13, 73, 90	pm2.61ne 2879	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
92	91	3expia 1267	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
93	92	expd 452	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
94	93	rexlimdv 3030	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
95	9, 94	mpd 15	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cbs 15857

cple 15948

cpo 16940

cplt 16941

cjn 16944

clat 17045

ccvr 34549

catm 34550

chlt 34637

clpl 34778

clvol 34779

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-preset 16928 df-poset 16946 df-plt 16958 df-lub 16974 df-glb 16975 df-join 16976 df-meet 16977 df-p0 17039 df-lat 17046 df-clat 17108 df-oposet 34463 df-ol 34465 df-oml 34466 df-covers 34553 df-ats 34554 df-atl 34585 df-cvlat 34609 df-hlat 34638 df-llines 34784 df-lplanes 34785 df-lvols 34786

This theorem is referenced by: lvolnleat 34869 lvolnlelln 34870 lvolnlelpln 34871 3atnelvolN 34872 4atlem3 34882 dalem39 34997

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