Theorem islvol2 34866

Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume" in terms of atoms. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islvol5.b	|- B = ( Base ` K )
islvol5.l	|- .<_ = ( le ` K )
islvol5.j	|- .\/ = ( join ` K )
islvol5.a	|- A = ( Atoms ` K )
islvol5.v	|- V = ( LVols ` K )

Assertion

Ref	Expression
islvol2	|- ( K e. HL -> ( X e. V <-> ( X e. B /\ E. p e. A E. q e. A E. r e. A E. s e. A ( ( p =/= q /\ -. r .<_ ( p .\/ q ) /\ -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) ) /\ X = ( ( ( p .\/ q ) .\/ r ) .\/ s ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   q, p, r, s, A   B, p, q, r, s   .\/ , p, q, r, s   K, p, q, r, s   .<_ , p, q, r, s   X, p, q, r, s

Allowed substitution hints:   V( s, r, q, p)

Proof of Theorem islvol2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islvol5.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
2		islvol5.v	. . . 4 |- V = ( LVols ` K )
3	1, 2	lvolbase 34864	. . 3 |- ( X e. V -> X e. B )
4	3	pm4.71ri 665	. 2 |- ( X e. V <-> ( X e. B /\ X e. V ) )
5		islvol5.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
6		islvol5.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
7		islvol5.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
8	1, 5, 6, 7, 2	islvol5 34865	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( X e. V <-> E. p e. A E. q e. A E. r e. A E. s e. A ( ( p =/= q /\ -. r .<_ ( p .\/ q ) /\ -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) ) /\ X = ( ( ( p .\/ q ) .\/ r ) .\/ s ) ) ) )
9	8	pm5.32da 673	. 2 |- ( K e. HL -> ( ( X e. B /\ X e. V ) <-> ( X e. B /\ E. p e. A E. q e. A E. r e. A E. s e. A ( ( p =/= q /\ -. r .<_ ( p .\/ q ) /\ -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) ) /\ X = ( ( ( p .\/ q ) .\/ r ) .\/ s ) ) ) ) )
10	4, 9	syl5bb 272	1 |- ( K e. HL -> ( X e. V <-> ( X e. B /\ E. p e. A E. q e. A E. r e. A E. s e. A ( ( p =/= q /\ -. r .<_ ( p .\/ q ) /\ -. s .<_ ( ( p .\/ q ) .\/ r ) ) /\ X = ( ( ( p .\/ q ) .\/ r ) .\/ s ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   joincjn 16944   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LVolsclvol 34779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786

This theorem is referenced by:  lplncvrlvol2  34901